Tema 2. Conversión y uso de unidades de medida

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Indicadores de logro

1. Mide, en el plano, segmentos de recta y áreas utilizando diferentes unidades de medida.
2. Realiza las conversiones de medidas de longitud y superficie.
3. Obtiene la media aritmética de un conjunto de datos.

1. Recorte un triángulo acutángulo escaleno en una hoja de papel cuadriculado. No es importante el tamaño del triángulo. Luego, responda esta pregunta:

• ¿Cómo obtiene las mediatrices del triángulo?
• Para obtener las mediatrices del triángulo observe el procedimiento que se muestra a continuación.

Trace las mediatrices doblando cada lado. Haga coincidir de dos en dos los vértices del triángulo. Compruebe que las tres mediatrices se cortan en un punto F llamado: circuncentro.

Trace los segmentos AF, BF y CF y compruebe que tienen la misma longitud.

El circuncentro es el centro de una circunferencia que pasa por ABC. Trace la circunferencia con un compás.

Concluya que: el circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC.

1. Mida el radio y diámetro de la circunferencia.
2. Responda a las siguientes preguntas.
   • ¿Dónde se ubica el circuncentro de un triángulo rectángulo?
   • ¿Dónde se ubica el circuncentro de un triángulo equilátero?

2. Realice las actividades. Para comprobar qué tanto está lloviendo en una región o área determinada se utilizan los pluviómetros.

¿Qué debemos saber?

La unidad de medida habitual de la precipitación (P) son los milímetros, unidad de longitud que resulta del cociente entre el volumen de agua recogido en una superficie determinada.

• Recolecte la lluvia en un período equivalente a 4, 6 u 8 horas en un día.
• Después de que pase este período, retire el frasco del exterior.
• Lea y anote cuántos milímetros de agua han caído. Este será el índice de lluvias durante este día.

3. Lea y responda.

En el período de lluvias, en una región del país, se midió la precipitación de lluvia durante un día. Los resultados se ordenaron en un diagrama de barras (Gráfica 1). Responda a las siguientes preguntas:

• ¿Cuál es la precipitación promedio de ese día?
• Sí el área de influencia del pluviómetro es de 250 m2, ¿cuánto volumen de agua cae ese día?

Histograma

Gráfica 1

Razonamiento matemático

Para resolver la actividad 3, sume la precipitación registrada en cada hora y divida entre 8 (4 + 22 + 16 + 34 + 21 + 28 + 1 + 6). Los valores obtenidos son aproximados. El resultado se divide entre 8 para obtener un promedio igual a 16. 5 mm/h.

Para estimar el volumen de agua, tenga presente la siguiente expresión: V = área x altura de lluvia. Exprese 16.5 mm en metros, esto es 0.0165 m.

Desarrollo

1. Lea, analice y responda.

Las siguientes gráficas muestran la precipitación medida a lo largo del año en dos regiones diferentes. La región A y B tienen una superficie de una hectárea.

• ¿En cuál de las dos regiones llueve más durante el año?
• ¿Cuál es la precipitación promedio en cada región?
• En promedio, ¿cuánta lluvia cae en cada región?

Gráfica de precipitación

Gráfica 2. Región A Gráfica de precipitación

Gráfica 3. Región B

Razonamiento matemático

Calcule la precipitación promedio en la región A: [math]\displaystyle{ (80+80+90+70+20+25+30+25+10+115+120+50)/12 = 60 mm }[/math].

En la región B, aproximado a un número entero es: [math]\displaystyle{ (260+300+140+140+190+75+40+70+60+225+50+180)/12 = 144 mm }[/math]

Una hectárea es una superficie de [math]\displaystyle{ 100 }[/math] metros por [math]\displaystyle{ 100 }[/math] metros, que es igual a [math]\displaystyle{ 10,000 m^2 }[/math].

Al convertir [math]\displaystyle{ 60 mm }[/math] y [math]\displaystyle{ 140 mm }[/math] a metros se obtiene [math]\displaystyle{ 60 mm x (1 m/1000 mm) = 0.06 m y 144mm x (1 m/1000 mm)=0.144 m }[/math].

El volumen se obtiene al multiplicar la altura del agua en un año por la superficie de cada región.

[math]\displaystyle{ V = A x altura = 10,000 m^2 x 0.06 m = 600 m^3 }[/math] de agua.

[math]\displaystyle{ V = A x altura = 10,000 m^2 x 0.144 m = 1440 m^3 }[/math] de agua.

[math]\displaystyle{ 1 m^3 }[/math] de agua es igual a [math]\displaystyle{ 1000 }[/math] litros.

En la región A, la medida de volumen en litros es [math]\displaystyle{ 6,000 }[/math] litros y en la región B, es [math]\displaystyle{ 14,400 }[/math] litros.

Nuevos aprendizajes

La media aritmética es el promedio aritmético de un conjunto de mediciones. Esta se obtiene al dividir la suma de las mediciones entre la cantidad de estos en el conjunto. En una serie de datos agrupados en una distribución de frecuencias simple, se calcula así:

[math]\displaystyle{ \overline{X}=\frac{\sum fx}{N} }[/math]

Polígonos de Thiessen

Se utilizan para medir la precipitación a partir de una construcción geométrica en un espacio bidimensional. Este método requiere la ubicación de un pluviómetro o pluviógrafo dentro de una superficie de estudio.

Cierre

Ejercicios del tema

1. Lea y resuelva.

Considere la siguiente área de influencia donde están ubicados cinco medidores de precipitación, identificados como: P1, P2, P3, P4 y P5. El área de cada cuadrado en la figura es de 1 km2.

• ¿Cuántos triángulos conforman el área de la figura 1?
• ¿Pueden identificarse las mediatrices y el circuncentro en cada triángulo formado?
• ¿Cuál es el área de influencia de cada pluviómetro?

Figura 1

Razonamiento matemático

En la figura 1 se muestra como los puntos P se unen para formar triángulos, mientras que las mediatrices se unen en el interior de cada triángulo en el circuncentro y forman los polígonos de influencia de cada pluviómetro.

Para estimar el área de influencia, se cuentan los cuadros dentro de cada polígono y se estima el área.

La estimación de áreas es la siguiente: [math]\displaystyle{ P1: 11.0 km^2, P2: 15. 5 km^2 }[/math] [math]\displaystyle{ P3: 12. 5 km^2, P4: 10.5 km^2 }[/math] [math]\displaystyle{ P5: 11.0 km^2 }[/math]

Para determinar la precipitación media en toda la región, se utiliza la expresión para los polígonos de Thiessen, expresada por una media aritmética: [math]\displaystyle{ P=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10} A_i xP_i}{} }[/math]

2. Responda.

• ¿Cuál es la precipitación media en toda la región señalada en la figura 1?
• ¿Cuál es el volumen de agua en la región? Estime su valor.

3. Siga este procedimiento:

• Registre, en una tabla, las medidas de precipitación en el lugar.
• Identifique: ¿qué habilidades se desarrollan durante este tipo de situaciones?

Estación	Precipitación anual (mm)
P1	800
P2	600
P3	900
P4	400
P5	200

a. Trazo de una superficie en papel milimetrado a una escala adecuada.

b. Identificación y trazo de figuras planas.

c. Conversiones entre unidades de longitud y área.

d. Estimación de áreas y volumen.

• A partir de esta construcción geométrica, realice los siguientes cálculos.

Estaciones	Área (km2)	Precipitación(mm)	A x P
P1	11	800	8,800
P2	15.5	600	9,300
P3	12.5	900	11,250
P4	10.5	400	4,200
P5	11	200	2,200
Total	60.5		35,750

Para determinar la precipitación media en toda la cuenca, se utiliza la expresión o fórmula para los polígonos de Thiessen, expresada de la siguiente forma:

[math]\displaystyle{ P_m=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10} A_i xP_i}{A_total} }[/math]

• Para esta situación, la precipitación media es:

[math]\displaystyle{ P_m=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10} A_i xP_i}{A_total}=\frac{35,750 mm km^2}{60.5 km^2}=590.9mm }[/math]

4. Realice conversiones para estimar el volumen de agua anual de la región.

Exprese la precipitación media en metros: [math]\displaystyle{ 590.9 mm x=\frac{1 metr}{1000 mm}=590.9 10^-3 m }[/math]

Exprese la superficie de la cuenca en [math]\displaystyle{ metros^2 }[/math]: [math]\displaystyle{ 35,750km^2 x=\frac{(1000 )^3}{(1km)^2}=3.57*10^{10} m^2 }[/math]

5. Multiplique el área de la cuenca por la precipitación para estimar el volumen de agua:

[math]\displaystyle{ V = Ah = (3.57 x1010 m^2) (590.9x10^{-3}) = 2.1095x10^{10} m^3 }[/math], esto equivale a [math]\displaystyle{ 21,095 }[/math] millones de metros cúbicos de agua al año.

Conjunto de acciones (formas de actuar o de resolver tareas), con un orden, plan o pasos, para conseguir un determinado fin o meta. Se trata de saber hacer cosas, aplicar o actuar de manera ordenada para solucionar problemas, satisfacer propósitos o conseguir objetivos. Forman los contenidos procedimentales.