Tema 5. Probabilidad

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Indicadores de logro

Calcula la probabilidad de un evento sobre un espacio muestral.
Calcula la probabilidad utilizando una tabla de distribución simple de frecuencias.
Calcula permutaciones y combinaciones.

1. Elabore con cartulina un tablero como se muestra en la figura 1 y realice el siguiente juego.

La franja central que se observa en la figura 1 representa un río con doce casillas numeradas del 1 al 12 a cada lado. Para este juego, se necesitan 24 fichas y dos dados.

Figura 1

Instrucciones

Participan dos jugadores; cada uno de los cuales dispone de 12 fichas.
Las fichas se deben colocar en cada una de las doce casillas (una ficha por casilla).
El primer jugador lanzará dos dados, sumará los puntos obtenidos en las caras superiores de los mismos y pasará la ficha a la casilla, del otro lado del río, con el número que ha obtenido al realizar la suma (puede armar dos dados como se observa en la figura 2).
A continuación, el segundo jugador lanzará los dados y repetirá el proceso.
Así se continúa hasta que alguno de los jugadores pase todas sus fichas al otro lado del río.

Figura 2

¿Es posible lograr el objetivo del juego? Explique.
Tabule los datos según las veces que ocurra cada caso al tirar los dados.

Razonamiento matemático

El objetivo de pasar todas las fichas no se cumple para la primera posición, que nunca pasará el río. Realizarán el juego varias veces de manera que puedan descubrir que hay posiciones desde las que es más fácil pasar al otro lado y posiciones donde es imposible.

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

Espacio muestral (S): es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

Evento (E): es todo subconjunto de un espacio muestral. Probabilidad: es qué tan posible pueda ocurrir un evento. La probabilidad de un evento se mide de la siguiente forma:

[math]\displaystyle{ P(E)=\frac{Las veces que se cuenta el evento}{Todos los elementos del espacio muestral(s)} }[/math]

1. Analice.

En un experimento se lanzan dos dados al mismo tiempo y se suman los resultados. En la tabla 1 se muestran todas las posibles sumas que pueden resultar en cada lanzamiento.

Responda:

¿Cuántos eventos tiene el espacio muestral?
¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea siete?
¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea menor que siete?

**Tabla 1**
	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Al observar la tabla 1 y contar todos los eventos posibles, ese espacio muestral tiene 36 elementos.

Para calcular la probabilidad de sumar siete, contamos cuántas veces se repite el número 7 en el espacio muestral:

[math]\displaystyle{ P(E)=\frac{Las veces que se cuenta el evento}{Todos los elementos del espacio muestral(s)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} }[/math]

Esta probabilidad puede expresarse como porcentaje al multiplicarla por 100; entonces, por cada 1/6*100=16.7% obtendremos una suma que dé 7.

Para sumas menores de siete, contamos cuántas sumas son menores de ese número:

[math]\displaystyle{ P(E)=\frac{Las veces que se cuenta el evento}{Todos los elementos del espacio muestral(s)}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12} }[/math]

Como porcentaje, la probabilidad de que se obtenga una suma menor que 7 es: 5/12*100 = 41.7%.

Distribución de frecuencia

La distribución de frecuencia de un experimento permite establecer la probabilidad de que ocurra un evento que está en el espacio muestral.

Está definida por la frecuencia relativa y puede expresarse como porcentaje para tener una idea más clara de la posibilidad de que ocurra un resultado esperado.

2. Analice.

En una escuela se preguntó a 120 estudiantes acerca de si les gusta practicar un deporte. Los resultados se muestran en la tabla 2. Complete la tabla con la información de frecuencia relativa y porcentual.

Si encuentra a un estudiante de esa escuela:

a. ¿cuál es la probabilidad de que conteste “sí” al preguntarle si le interesa el deporte?

b. ¿cuál es la probabilidad de que le interese poco?

c. ¿cuál es la probabilidad de que no esté interesado?

Tabla 2

a. Según se observa en la tabla de distribución de frecuencia, se tiene una probabilidad de 45% de obtener un sí. b. La probabilidad de que el estudiante al que se le pregunte tenga un poco de interés es de 36%. c. Hay una probabilidad de 19% de que el estudiante no esté interesado.

Permutación y combinación

Permutación	Es un arreglo que se hace usando algunos o todos los elementos de un conjunto. Esta se denota: [math]\displaystyle{ P = n! }[/math]	Combinación	Es una selección de objetos en la que el orden no establece ninguna diferencia. Se denota: [math]\displaystyle{ c (n,r) =\frac{n!}{(n-r)!r!} }[/math]

Enumere las distintas formas posibles para arreglar dos a dos las letras: a, b, c. P = 3! (se lee: tres factorial), esto es: 3! = 3 x 2 x 1 = 6 arreglos.
Los arreglos son: ab, ac, ba, bc, ca, cb.
Enumere las distintas combinaciones que podemos formar con las letras a, b, c. tomadas dos a dos. La combinación es : [math]\displaystyle{ c (3,2) =\frac{3!}{(3-2)!2!}=\frac{3 * 2 *1}{1*1*2}=\frac{6}{2}=3 }[/math]
Responda cuáles son las combinaciones. Las combinaciones son: ab, ac, bc.

Cierre

Ejercicios del tema

Nivel: análisis=

1. Resuelva.

La tabla 2 muestra los resultados del experimento de lanzar al aire tres monedas de veinticinco centavos al mismo tiempo, donde c= cara y e = escudo. Complete la tabla 2 en su cuaderno.

**Tabla 2**
Actitud	f	fr	f%
ccc	2
eee	3
cce	4
eec	5

Razonamiento matemático

Las frecuencias relativas son: 0.14, 0.21, 0.28 y 0.37. Las frecuencias porcentuales son: 14%, 21%, 28% y 37%.

a. 21%

b. 28%

c. 14% todas sean caras

d. Dos escudos y una cara

Sin importar el orden en el lanzamiento, responda:

a. ¿Cuál es la probabilidad de sacar todos como escudos?

b. ¿Qué porcentaje de probabilidad hay de sacar dos caras?

c. ¿Qué es menos probable que resulte en un lanzamiento?

d. ¿Cuál es el resultado que tiene un 37% de probabilidad?

2. Resuelva.

a. Si lanza una moneda al aire, ¿cuántas y cuáles opciones se tienen?

b. Si lanza un dado, ¿cuántas y cuáles opciones se tienen?

3. Explique cuál es la diferencia entre estas dos situaciones.

c. ¿Qué edad tendrán sus compañeros después de 10 años?

d. Si lanzamos dos monedas al aire, ¿qué posibilidad tenemos de que caigan: cara – cara?

4. Resuelva. En un experimento se lanzan un dado y una moneda a la vez:

e. ¿Cuál es el espacio muestral para este experimento?

f. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan cara en la moneda y 3 en el dado?