Serie Aprendo y enseño/Matemáticas/Formas, números y lenguaje algebraico/Tema 1. Volumen de sólidos

Inicio

Indicadores de logro

1. Señalar las características geométricas de prismas, pirámides, cilindros y conos.
2. Identificar prismas, pirámides, cilindros y conos en el contexto.
3. Calcular el volumen de prismas, pirámides, cilindros y conos.

Todas las actividades de este cuadernillo puede realizarlas solo o con otros compañeros docentes.

También puede aplicarlas con sus estudiantes del ciclo básico.

1. Lea y resuelva.

• Alberto observa dos sólidos geométricos, como los que se muestran en la Figura 1.

2. Responda: ¿Por qué reciben los nombres que se muestran en la Figura 1?

• Elena, su amiga, le comenta que, con estos sólidos se cumple la siguiente ecuación: “el número de caras, más el número de vértices, menos el número de aristas es igual a 2”.

3. Compruebe que la afirmación de Elena es verdadera.

• 

  Tetraedro

• 
• 

  Hexaedro regular

• 

Figura 1

• Elena ha construido un diseño geométrico llamado: “calendario poliédrico”, como el que se muestra en la Figura 2.

4. Responda a las preguntas:

• ¿Qué nombre recibe cada una de las caras de este sólido geométrico?
• ¿Qué nombre tiene este curioso calendario poliédrico?
• ¿Cuántas caras, aristas y vértices tienen el diseño construido por Elena?

5. Compruebe en este poliedro que:

• “el número de caras, más el número de vértices, menos el número de aristas es igual a 2”.

Figura 2

Desarrollo

¿Qué es un sólido?

Un sólido es tridimensional o 3D porque tiene tres dimensiones: longitud, profundidad y altura. Un prisma es un sólido que tiene un par de bases congruentes y paralelas, además sus lados son paralelogramos. El volumen de un prisma es igual al área de la base por su altura: V = Bh.

1. Encuentre el volumen del prisma triangular de la figura 3.

Figura 3

Solución:

Se llama prisma triangular porque sus bases son triángulos.

El área de la base es: [math]\displaystyle{ B=\frac {1}{2} (7cm) (8cm) }[/math], y el volumen del prisma es:

[math]\displaystyle{ V = Bh =\frac {1}{2} (7cm) (8cm) (25cm) = 700 cm^3 }[/math]

Conclusión: El cuerpo ocupa un espacio de [math]\displaystyle{ 700 }[/math] unidades cúbicas. [math]\displaystyle{ (cm^3) }[/math]

Volumen de un cilindro

El volumen de un cilindro es igual al área de la base [math]\displaystyle{ (\pi r^2) }[/math] multiplicado por la altura: [math]\displaystyle{ V = \pi r^2 h }[/math] Revise el siguiente ejemplo, donde [math]\displaystyle{ \pi \approx 3.14 }[/math]

El volumen del cilindro de la figura 4, si [math]\displaystyle{ r = 6 cm y h = 5 cm }[/math], es: [math]\displaystyle{ V = \pi r^2 h = (3.14) (6cm) (5cm) \approx 565.2cm^3 }[/math]

Figura 4

Volumen de una pirámide

Una pirámide tiene un polígono como base y triángulos como lados. Un cono tiene una base circular. La altura de una pirámide o de un cono es la distancia perpendicular que va del vértice a la base, tal como se muestra en la Figura 5. El volumen de una pirámide o de un cono puede determinarse con la misma fórmula que es igual a una tercera parte del área de la base por la altura, tal como se muestra en la Figura 5.

[math]\displaystyle{ V=\frac {1}{3} Bh }[/math]

• 
• 

  Pirámide triangular

• 

  Pirámide cuadrangular

• 

  Pirámide pentagonal

Figura 5

Cierre

Ejercicios del tema

Puede consultar las respuestas en la sección resultados a los ejercicios del tema

Nivel: Conocimiento y recuerdo

Secuencias y procedimientos

1. Identifique la altura, el tipo de área de su base, caras laterales y nombre de cada prisma de la figura 6.

• 
• 
• 

Figura 6

Nivel: Comprensión

Organizar y relacionar la información 2. Encuentre el volumen de cada sólido de la Figura 7.

• Recuerde escribir el procedimiento realizado en cada razonamiento matemático.
• Escriba las características geométricas de sus lados, base o altura para cada cuerpo.

• 

  1.

• 

  2.

• 

  3.
  r = 4 pulg
  h = 9 pulg

• 

  4.
  B = 25 cm^2
  h = 12 cm

• 

  5.
  B = 126 pies²
  h = 4 pies

• 

  6.
  B = 14 cm²
  h = 10 cm

Figura 7

Nivel: Análisis

Identificar diferencias y similitudes importantes en el conocimiento

3. Resuelva los siguientes planteamientos.

Un carpintero hace un agujero cilíndrico con radio de 4 cm en un cubo sólido de madera cuyos lados tienen 10 cm de largo.

• Calcule el volumen del nuevo sólido que se observa en la figura 8.

Figura 8

Estime el volumen del cono de la Figura 9 en centímetros, si se considera que la altura del cono es de 75 centímetros y el radio de la base es de 12 centímetros.

• Responda, ¿con cuál cuerpo se puede comparar este sólido?

Figura 9

Nivel: Utilización

Aplicar el conocimiento para tomar decisiones

4. Realice los ejercicios.

Alberto utiliza un recipiente en forma de pirámide como medida para llenar, con arena de río, un “bote” en forma de prisma cuadrangular. (Ver Figura 10). Alberto dice que “una medida”, es la capacidad máxima que tiene el recipiente en forma de pirámide para almacenar hasta [math]\displaystyle{ 60 cm^3 }[/math] de arena.

Figura 10

Julio tiene en su casa un filtro de agua muy eficaz y útil construido de piedra caliza. El agua se deposita en la base circular del cono y la extraen por el vértice de este cuerpo geométrico. El filtro está colocado sobre una base rectangular con las medidas que se muestran en la Figura 11.

b. Calcule el volumen del filtro con forma de cono.

Alberto afirma que el volumen de tres conos es igual al volumen de un cilindro.

Figura 11

c. Si esto es verdadero, responda, ¿cuál es el volumen del cilindro de la Figura 12?

Orientaciones generales de las actividades de inicio y cierre del tema

Solución de las actividades de fase de inicio.

Primera actividad:

• Escriba la igualdad: C+V – A = 2.
  Cuente caras, vértices y aristas en cada sólido.
• Concluya que para el caso de la pirámide triangular: 4 + 4 – 6 = 2.
• Concluya que para el caso del cubo: 6+8-12 = 12.

Segunda actividad:

Concluya que el prisma es un dodecaedro que tiene una superficie que consta de 12 pentágonos regulares. Tiene 20 vértices y 30 aristas.

Solución de las actividades de la fase de cierre.

Respuestas del nivel de conocimiento y recuerdo

Secuencias y procedimientos

En esta parte se refuerza la habilidad de poder recordar determinada palabra o concepto, expresión y luego emplearlo.

Respuestas:

a. Altura: 10 cm

Tipo de área: base triangular.

Lados: son paralelogramos.

Nombre: prisma triangular.

b. Altura: 9 cm

Tipo de área: base octogonal.

Lados: son paralelogramos.

Nombre: prisma octogonal.

c. Altura: 6 pies

Tipo de área: base hexagonal.

Lados: son paralelogramos.

Nombre: prisma hexagonal.

Respuestas del nivel de comprensión

Organizar y relacionar la información

Refuerza lo que lee y asocia un número, una variable, una ecuación y una operación. La selección de elementos significativos le permite dar respuesta a la situación problemática.

Respuestas:

1. [math]\displaystyle{ V = 352 cm^3. }[/math] Base rectangular.
2. [math]\displaystyle{ V = 763.02 cm^3. }[/math] Base circular.
3. [math]\displaystyle{ V \approx 150.72 plg^3. }[/math] Base circular.
4. [math]\displaystyle{ A = 300 cm^3 }[/math]
5. [math]\displaystyle{ A = 504 pies^3 }[/math]
6. [math]\displaystyle{ V = 46.67 cm^3 }[/math]

Respuestas del nivel de análisis

Identificar diferencias y similitudes importantes en el conocimiento

Respuestas:

a. El volumen del nuevo sólido es:

[math]\displaystyle{ V_cil \approx 502.4cm^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ V_cubo = 1000cm^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ V_cubo -V_cil ≈ 497.6cm^3 }[/math]

b. El volumen del nuevo sólido es: [math]\displaystyle{ V \approx 11,304 cm^3. }[/math]

Respuestas del nivel de utilización

Utilizar el conocimiento para tomar decisiones

Llegar a soluciones efectivas en este nivel indica que los anteriores niveles trascendieron debido a un estímulo. (Lo que le permite actuar con dominio del conocimiento).

Respuestas:

a.[math]\displaystyle{ V = 720 cm^3 }[/math], hay 12 medidas exactas.

b.El volumen del filtro es: [math]\displaystyle{ 200.96 cm^3. }[/math]

c.Se cumple la afirmación: [math]\displaystyle{ V = 283 cm^3. }[/math]

Conjunto de acciones (formas de actuar o de resolver tareas), con un orden, plan o pasos, para conseguir un determinado fin o meta. Se trata de saber hacer cosas, aplicar o actuar de manera ordenada para solucionar problemas, satisfacer propósitos o conseguir objetivos. Forman los contenidos procedimentales.

Término utilizado, a menudo, como un saber hacer. Se suele aceptar que, por orden creciente, en primer lugar estaría la habilidad, en segundo lugar la capacidad, y la competencia se situaría a un nivel superior e integrador. Capacidad es, en principio, la aptitud para hacer algo. Todo un conjunto de verbos en infinitivo expresan capacidades (analizar, comparar, clasificar, etc.), que se manifiestan a través de determinados contenidos (analizar algo, comparar cosas, clasificar objetos, etc.). Por eso son, en gran medida, transversales, susceptibles de ser empleadas con distintos contenidos. Una competencia moviliza diferentes capacidades y diferentes contenidos en una situación. La competencia es una capacidad compleja, distinta de un saber rutinario o de mera aplicación.

Capacidad o destreza para hacer algo bien o con facilidad.

Lo que estimula o incita a hacer algo.