Tema 2. Potencia y radicación

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Indicadores de logro

1. Escribe radicales como potencia de exponente fraccionario y viceversa.
2. Simplifica operaciones que incluyen potencias y radicales a partir de las propiedades subyacentes.
3. Resuelve situaciones que involucran la potenciación y radicación.

1. Reúnase en parejas para leer y comentar sus estrategias.

• Observen el tablero que se muestra en la Figura 1 y sitúense en cualquiera de las casillas blancas de la fila inferior.
• Realicen las operaciones indicadas. Con el dedo índice busquen un camino por las casillas numeradas hasta llegar a la fila superior y obtener 6 de salida.

Salida con 6

Figura 1

Si sube por la izquierda divide.

Si sube por la derecha multiplica.

• Comenten qué estrategia funcionó para llegar a la parte superior y salir con 6.
• Marquen la trayectoria para alcanzar la parte superior y salir con un número 6.

2. Responda.

• ¿Qué número se multiplica por sí mismo tres veces y el resultado es 8?
• ¿Qué número se multiplica por sí mismo cuatro veces y el resultado es 625?
• ¿Qué número se multiplica por sí mismo seis veces y el resultado es 1 millón?

3. Lea y resuelva.

Alfredo ha comprado un reloj “curioso” tal como se muestra en la Figura 2.

4. Explique cómo funciona y qué hora se lee en la Figura 2.

En una semana:

• ¿Cuántas vueltas completas realiza la aguja horaria?
• ¿Cómo se representa con radicales esta situación?
• ¿Cómo realiza el cambio de radicales a horas en este caso?

5. Escriba las 11: 45 am y 35 segundos, utilizando el patrón de este reloj.

Figura 2

Potenciación es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. Por ejemplo: [math]\displaystyle{ 6 x 6 x 6 = 6^3 }[/math], donde [math]\displaystyle{ 6 }[/math] es la base y [math]\displaystyle{ 3 }[/math] el exponente. La radicación es la operación inversa de la potenciación, consiste en que, dados dos números llamados: radicando (cantidad subradical) e índice, se halla un tercero, llamado: raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando. El ejemplo sirve de guía. Plantee [math]\displaystyle{ 3 }[/math] ejemplos equivalentes con otros índices.

Ejemplo guía

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

El exponente de un número dice cuántas veces se debe multiplicar un número por sí mismo, por ejemplo: [math]\displaystyle{ 5^3= 5x5x5 }[/math]. Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir, por ejemplo: [math]\displaystyle{ 5^{-3}\frac {1}{5^3}=\frac {1}{125} }[/math]

Un exponente fraccionario como por ejemplo 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima:

[math]\displaystyle{ x^1/_n=\sqrt[n]{X} }[/math], por ejemplo:[math]\displaystyle{ 8^1/_3=\sqrt[3]{8} }[/math].

1. Escriba 3 ejemplos equivalentes para cada propiedad de la Tabla 1. Si logra escribir los ejemplos debe registrar en el cuaderno 21 ejemplos adicionales.

Tabla 1 Propiedades de los exponentes

Propiedad	Ejemplo	Incorrecta aplicación de la propiedad
1. [math]\displaystyle{ a^m a^n = a^{m+n} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3^2 * 3^5 = 3^{2+5} = 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3^2 * 2^3 }[/math] no es igual a [math]\displaystyle{ 6^{2+3} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ a^m / a^n = a^{m - n} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3^5/3^2 = 3^{5 -2}= 3^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6^5/2^3 }[/math] no es igual a:[math]\displaystyle{ 3^{5-3} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ (a^m)^n = a^{m*n} }[/math]	[math]\displaystyle{ (3^2)^5 = 3^{2*5} = 3^10 }[/math]	[math]\displaystyle{ (3^2)^5 }[/math] no es igual a: [math]\displaystyle{ 3^{2+5} }[/math]
4.[math]\displaystyle{ (ab)^n = a^n*b^n }[/math]	[math]\displaystyle{ (3 * 4)^2 = 3^2 * 4^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (3 * 4)^2 }[/math] no es igual a:[math]\displaystyle{ 3^2 + 4^2 }[/math]
5.[math]\displaystyle{ (a/b)^n = a^n/b^n }[/math]	[math]\displaystyle{ (3 / 4)^2 = 3^2/4^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (3 / 4)^2 }[/math] no es igual a:[math]\displaystyle{ 3^2/4 = 9/4 }[/math]
6.[math]\displaystyle{ (a/b)^{-n} = (b/a)^n }[/math]	[math]\displaystyle{ (3/4)^{-2} = (4/3)^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (3/4)^{-2} }[/math] no es igual a [math]\displaystyle{ -3* -3 /-4*-4 = 9/16 }[/math]
7.[math]\displaystyle{ a^{-n}/b^{-m} = bm/an }[/math]	[math]\displaystyle{ 3^{-2}/4^{-5} = 4^5/3^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3^{-2}/4^{-5} }[/math] no es igual a [math]\displaystyle{ -3*-3/-4*-4*-4*-4*-4 }[/math]

Tabla 2 Propiedades de los radicales

Propiedad		Ejemplo
Raíz de un número	[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{X} = X^{1/_n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2^{3/_3} = 2 }[/math]
Potencia de un radical	[math]\displaystyle{ (\sqrt[n]{X})^m=\sqrt[n]{X^m}=X^{m/_n} }[/math]	[math]\displaystyle{ (\sqrt[3]{4})^6=(\sqrt[3]{4})^6=2^{6/_3}=4^2=6 }[/math]
Producto de radicales con el mismo índice	[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{X}*\sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{X*Y} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt[3]{3}*\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3*9}=\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3 }[/math]
División de radicales con el mismo índice	[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{X}/\sqrt[n]{Y}=\sqrt[n]({X/Y})=X^{1/_n}/Y{1/_n}, Y\neq0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt[3]{(8*27)}=\sqrt[3]{8}/ \sqrt[3]{27}=(2^3)^{1/_3}/(3^3)^{1/_3}=2/_3 }[/math]
Raíz de raíces	Investigue y escriba un ejemplo para esta propiedad.

Cierre

Ejercicios del tema

En el continuo de coaching es el rol de ser muy directo y enseñar, mostrar, guiar, etc.