Tema 5. Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado
(Página creada con «{{Título}} 60px|right|link= ==Inicio== Archivo:Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas...») |
|||
Línea 90: | Línea 90: | ||
<math>x=\frac{-96 \pm \sqrt{-96^2 - 4*(8)(-360)}}{2(8)}</math> | <math>x=\frac{-96 \pm \sqrt{-96^2 - 4*(8)(-360)}}{2(8)}</math> | ||
+ | |||
+ | 3. Resuelva. | ||
+ | <math>3u^2=18u-6 ; m(3m+1)=3;</math> | ||
+ | |||
+ | <div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px solid #ec008d;"> | ||
+ | Vea más sobre solución de ecuaciones cuadráticas por factorización: https://www.youtube.com/watch?v=PTJx4W-lQbEO3Fs | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | ==Cierre== | ||
+ | ===Ejercicios del tema=== | ||
+ | [[Archivo:Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas Númericos y Operaciones icono2.jpg|60px|right|link=]] | ||
+ | ===Nivel: Análisis=== | ||
+ | 1. Siga las instrucciones y complete la tabla en el cuaderno. A continuación, se presenta una serie de ecuaciones cuadráticas. | ||
+ | |||
+ | {|class="wikitable" style="width:50%; margin: 10px auto 10px auto;" | ||
+ | |- | ||
+ | |style="background:#ec008d; border: 2px solid #ec008d; color:#fff;" colspan="2"|'''Ecuación cuadrática.''' | ||
+ | |style="background:#ec008d; width:25%; border: 2px solid #ec008d; color:#fff;"|'''Escriba el método de solución.''' | ||
+ | |style="background:#ec008d; width:25%; border: 2px solid #ec008d; color:#fff;"|'''Escriba la ecuación como un producto de factores.''' | ||
+ | |style="background:#ec008d; width:20%; border: 2px solid #ec008d; color:#fff;"|'''Escriba soluciones de la ecuación. | ||
+ | |- | ||
+ | |style="background:#fff; border: 2px solid #ec008d;" colspan="2"|<math>x^2 + 9x + 18 = 0</math> | ||
+ | |style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"|Factores igual a cero | ||
+ | |style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"|<math>(x + 3) (x + 6) = 0.</math> | ||
+ | |style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"|<math>x_1 = -3</math> | ||
+ | <math>x_2 = -6</math> | ||
+ | |- | ||
+ | |style="background:#fff; width:5%; border: 2px solid #ec008d;"|a) | ||
+ | |style="background:#fff; width:20%; border: 2px solid #ec008d;"|<math>6x^2 - 7x = 10</math> | ||
+ | |style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"| | ||
+ | |style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"| | ||
+ | |style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"| | ||
+ | |- | ||
+ | |style="background:#fff; width:5%; border: 2px solid #ec008d;"|b) | ||
+ | |style="background:#fff; width:20%; border: 2px solid #ec008d;"|<math>2x^2 - 7 = 3x</math> | ||
+ | |style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"| | ||
+ | |style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"| | ||
+ | |style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"| | ||
+ | |- | ||
+ | |style="background:#fff; width:5%; border: 2px solid #ec008d;"|c) | ||
+ | |style="background:#fff; width:20%; border: 2px solid #ec008d;"|<math>x^2 = 8x</math> | ||
+ | |style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"| | ||
+ | |style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"| | ||
+ | |style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"| | ||
+ | |- | ||
+ | |style="background:#fff; width:5%; border: 2px solid #ec008d;"|d) | ||
+ | |style="background:#fff; width:20%; border: 2px solid #ec008d;"|<math>x^2 - 6x + 4 = 0</math> | ||
+ | |style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"| | ||
+ | |style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"| | ||
+ | |style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"| | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | <div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px solid #ec008d;"> | ||
+ | '''Razonamiento matemático''' | ||
+ | |||
+ | La ecuación cuadrática tiene dos soluciones debido al exponente 2. Las soluciones pueden ser enteras o reales, y según la naturaleza de las raíces depende el método que se utilice en la solución. a) <math>x_1= 2; x_2= -5/6</math> (factores); b) <math>x_1= 2.77; x_2= -1.27</math> (fórmula); c) <math>x_1= -8; x_2= 0</math> (factor), d) <math>x_1= 5.24; x_2= 0.76</math> (fórmula). | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | 2. Responda. | ||
+ | |||
+ | En la figura 4, se muestran las dimensiones de una tarjeta a la que se le hace una perforación de forma cuadrada de lado desconocido x. ¿Cuál es el área de la perforación en <math>cm^2</math>? | ||
+ | |||
+ | [[Archivo:Aprendo y enseño - Matemáticas 4 pag(24).jpg|300px|center]] | ||
+ | <center>'''Figura 4'''</center> | ||
+ | |||
+ | *Plantee una estrategia para determinar el área de la perforación. | ||
+ | *Encuentre las soluciones para x aproximada a centésimas y calcule el área. | ||
+ | *Explique los hallazgos. | ||
+ | |||
+ | <div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px dashed #ec008d;"> | ||
+ | '''Razonamiento matemático''' | ||
+ | *El área de un cuadrilátero regular se obtiene multiplicando la base por la altura. | ||
+ | *Cuando se necesita hallar el área que queda al quitar un polígono del área de otro polígono, se calcula restando el área mayor menos el área menor. | ||
+ | *Para resolver una ecuación cuadrática es necesario despejar el trinomio cuadrático e igualarlo a cero. Al restar el área total de la tarjeta menos el área de la perforación queda <math>80x^2 + 81x – 52 = 0.</math> | ||
+ | *Las soluciones son: <math>x1 \approx 0.45</math> y <math>x^2 ≈ -1.46</math>; para el área de la perforación, toma el valor positivo: <math>A= (0.45)^2=0.20 cm^2</math>. | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | 3. Resuelva los cuestionamientos. |
Revisión del 00:03 8 jul 2020
Inicio
Indicadores de logro
- Resuelve ecuaciones igualando a cero un producto de factores.
- Resuelve ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática o vieta.
1. Observe el cuadrado de la figura 1 con expresiones algebraicas.
- Si el número mágico de este cuadrado es 36, ¿cuál es el valor de x?
- Exponga la estrategia para hallar el valor de x.
- Sustituya cada expresión algebraica por el número que corresponde a cada casilla.
3 (1+2x) | 3 - x | 4 (x + 1) - 1 |
3 + x | 3 (x + 1) | 5 (1 + x) -2 |
2 + (1+ 2x) | 3 + 7x | 3 + 7x |
Razonamiento matemático
- Un cuadrado mágico tiene esta característica: la suma de sus columnas horizontales y diagonales resultan en la misma cantidad. En la situación que se presenta se elige la ecuación más sencilla y se despeja x=3.
- Al sustituir en la ecuación, debe ser cuidadoso de tomar en cuenta los signos de agrupación y los signos de las cantidades. Al sustituir en las casillas del cuadrado mágico: primera fila: 21, 0 ,15; segunda fila: 6, 12, 18; tercera fila: 9, 23, 3.
2. Lea y resuelva las actividades.
Lorena ha diseñado el arreglo de piezas de barro que se muestra en la figura 2 para una de las paredes en su jardín.
- Establezca una ecuación cuadrática que represente este arreglo geométrico e igual a cero.
- Verifique si esta ecuación es un trinomio cuadrado perfecto.
- Escriba la ecuación cuadrática como un binomio de la forma [math]\displaystyle{ (x + b )^2 = 0 }[/math].
Razonamiento matemático
Al sumar las partes que forman una figura compuesta y cuyas dimensiones están indicadas, se forma un polinomio que representa el área total. Es posible expresar como una ecuación cuadrática al igualar a cero: [math]\displaystyle{ x^2+4x+4=0 }[/math], y al factorizar se obtiene: [math]\displaystyle{ (x+2)^2=0 }[/math].
Desarrollo
Nuevos aprendizajes
Una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0, se llama forma estándar de la ecuación cuadrática.
1. Lea.
Una hoja de cartón rectangular se utiliza para construir una caja sin tapadera, cuyas dimensiones se muestran en la figura 3, y se requiere que el volumen de la caja sea de [math]\displaystyle{ 616 cm^3 }[/math].
- ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?
Razonamiento matemático
- El principio de los productos nulos: para cualquier un par de números reales a y b, si ab = 0, entonces a= 0 o b=0, y si a=0 o b=0, entonces ab=0. Si se tiene una ecuación con 0 en un lado y una factorización en el otro, se puede resolver encontrando los valores que hacen 0 a los factores.
- Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver utilizando una expresión llamada fórmula cuadrática o Vieta, donde a es el coeficiente del término x2, b es el coeficiente del término x y el término independiente es c. El [math]\displaystyle{ \pm }[/math] quiere decidir que hay dos soluciones o dos raíces.
[math]\displaystyle{ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }[/math]
2. Encuentre el volumen multiplicando sus dimensiones.
[math]\displaystyle{ (x-8)(2x-8)(4)=616 }[/math]; realice productos indicados e iguales a cero: [math]\displaystyle{ 8x2 – 96x – 360 = 0 }[/math]; factorice la ecuación cuadrática: [math]\displaystyle{ (x-15) (x+3)=0 }[/math]; iguale a cero cada factor: (x-15)=0 y (x+3)=0; despeje para hallar las soluciones [math]\displaystyle{ x_1=15 }[/math] [math]\displaystyle{ y x_2=-3 }[/math].
La solución factible es x=15 debido a que se trata de una situación real; por lo tanto, los dados serán ancho=15 cm y largo =30 cm.
Compruebe su respuesta utilizando la fórmula cuadrática: sustituya en fórmula cuadrática: a= 8; b=-96 y c= -360, entonces
[math]\displaystyle{ x=\frac{-96 \pm \sqrt{-96^2 - 4*(8)(-360)}}{2(8)} }[/math]
3. Resuelva. [math]\displaystyle{ 3u^2=18u-6 ; m(3m+1)=3; }[/math]
Vea más sobre solución de ecuaciones cuadráticas por factorización: https://www.youtube.com/watch?v=PTJx4W-lQbEO3Fs
Cierre
Ejercicios del tema
Nivel: Análisis
1. Siga las instrucciones y complete la tabla en el cuaderno. A continuación, se presenta una serie de ecuaciones cuadráticas.
Ecuación cuadrática. | Escriba el método de solución. | Escriba la ecuación como un producto de factores. | Escriba soluciones de la ecuación. | |
[math]\displaystyle{ x^2 + 9x + 18 = 0 }[/math] | Factores igual a cero | [math]\displaystyle{ (x + 3) (x + 6) = 0. }[/math] | [math]\displaystyle{ x_1 = -3 }[/math]
[math]\displaystyle{ x_2 = -6 }[/math] | |
a) | [math]\displaystyle{ 6x^2 - 7x = 10 }[/math] | |||
b) | [math]\displaystyle{ 2x^2 - 7 = 3x }[/math] | |||
c) | [math]\displaystyle{ x^2 = 8x }[/math] | |||
d) | [math]\displaystyle{ x^2 - 6x + 4 = 0 }[/math] |
Razonamiento matemático
La ecuación cuadrática tiene dos soluciones debido al exponente 2. Las soluciones pueden ser enteras o reales, y según la naturaleza de las raíces depende el método que se utilice en la solución. a) [math]\displaystyle{ x_1= 2; x_2= -5/6 }[/math] (factores); b) [math]\displaystyle{ x_1= 2.77; x_2= -1.27 }[/math] (fórmula); c) [math]\displaystyle{ x_1= -8; x_2= 0 }[/math] (factor), d) [math]\displaystyle{ x_1= 5.24; x_2= 0.76 }[/math] (fórmula).
2. Responda.
En la figura 4, se muestran las dimensiones de una tarjeta a la que se le hace una perforación de forma cuadrada de lado desconocido x. ¿Cuál es el área de la perforación en [math]\displaystyle{ cm^2 }[/math]?
- Plantee una estrategia para determinar el área de la perforación.
- Encuentre las soluciones para x aproximada a centésimas y calcule el área.
- Explique los hallazgos.
Razonamiento matemático
- El área de un cuadrilátero regular se obtiene multiplicando la base por la altura.
- Cuando se necesita hallar el área que queda al quitar un polígono del área de otro polígono, se calcula restando el área mayor menos el área menor.
- Para resolver una ecuación cuadrática es necesario despejar el trinomio cuadrático e igualarlo a cero. Al restar el área total de la tarjeta menos el área de la perforación queda [math]\displaystyle{ 80x^2 + 81x – 52 = 0. }[/math]
- Las soluciones son: [math]\displaystyle{ x1 \approx 0.45 }[/math] y [math]\displaystyle{ x^2 ≈ -1.46 }[/math]; para el área de la perforación, toma el valor positivo: [math]\displaystyle{ A= (0.45)^2=0.20 cm^2 }[/math].
3. Resuelva los cuestionamientos.