Tema 5. Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado
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Indicadores de logro
- Resuelve ecuaciones igualando a cero un producto de factores.
- Resuelve ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática o vieta.
1. Observe el cuadrado de la figura 1 con expresiones algebraicas.
- Si el número mágico de este cuadrado es 36, ¿cuál es el valor de x?
- Exponga la estrategia para hallar el valor de x.
- Sustituya cada expresión algebraica por el número que corresponde a cada casilla.
| 3 (1+2x) | 3 - x | 4 (x + 1) - 1 |
| 3 + x | 3 (x + 1) | 5 (1 + x) -2 |
| 2 + (1+ 2x) | 3 + 7x | 3 + 7x |
Razonamiento matemático
- Un cuadrado mágico tiene esta característica: la suma de sus columnas horizontales y diagonales resultan en la misma cantidad. En la situación que se presenta se elige la ecuación más sencilla y se despeja x=3.
- Al sustituir en la ecuación, debe ser cuidadoso de tomar en cuenta los signos de agrupación y los signos de las cantidades. Al sustituir en las casillas del cuadrado mágico: primera fila: 21, 0 ,15; segunda fila: 6, 12, 18; tercera fila: 9, 23, 3.
2. Lea y resuelva las actividades.
Lorena ha diseñado el arreglo de piezas de barro que se muestra en la figura 2 para una de las paredes en su jardín.
- Establezca una ecuación cuadrática que represente este arreglo geométrico e igual a cero.
- Verifique si esta ecuación es un trinomio cuadrado perfecto.
- Escriba la ecuación cuadrática como un binomio de la forma [math]\displaystyle{ (x + b )^2 = 0 }[/math].
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Razonamiento matemático
Al sumar las partes que forman una figura compuesta y cuyas dimensiones están indicadas, se forma un polinomio que representa el área total. Es posible expresar como una ecuación cuadrática al igualar a cero: [math]\displaystyle{ x^2+4x+4=0 }[/math], y al factorizar se obtiene: [math]\displaystyle{ (x+2)^2=0 }[/math].
Desarrollo
Nuevos aprendizajes
Una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0, se llama forma estándar de la ecuación cuadrática.
1. Lea.
Una hoja de cartón rectangular se utiliza para construir una caja sin tapadera, cuyas dimensiones se muestran en la figura 3, y se requiere que el volumen de la caja sea de [math]\displaystyle{ 616 cm^3 }[/math].
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- ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?
Razonamiento matemático
- El principio de los productos nulos: para cualquier un par de números reales a y b, si ab = 0, entonces a= 0 o b=0, y si a=0 o b=0, entonces ab=0. Si se tiene una ecuación con 0 en un lado y una factorización en el otro, se puede resolver encontrando los valores que hacen 0 a los factores.
- Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver utilizando una expresión llamada fórmula cuadrática o Vieta, donde a es el coeficiente del término x2, b es el coeficiente del término x y el término independiente es c. El [math]\displaystyle{ \pm }[/math] quiere decidir que hay dos soluciones o dos raíces.
[math]\displaystyle{ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }[/math]
2. Encuentre el volumen multiplicando sus dimensiones.
[math]\displaystyle{ (x-8)(2x-8)(4)=616 }[/math]; realice productos indicados e iguales a cero: [math]\displaystyle{ 8x2 – 96x – 360 = 0 }[/math]; factorice la ecuación cuadrática: [math]\displaystyle{ (x-15) (x+3)=0 }[/math]; iguale a cero cada factor: (x-15)=0 y (x+3)=0; despeje para hallar las soluciones [math]\displaystyle{ x_1=15 }[/math] [math]\displaystyle{ y x_2=-3 }[/math].
La solución factible es x=15 debido a que se trata de una situación real; por lo tanto, los dados serán ancho=15 cm y largo =30 cm.
Compruebe su respuesta utilizando la fórmula cuadrática: sustituya en fórmula cuadrática: a= 8; b=-96 y c= -360, entonces
[math]\displaystyle{ x=\frac{-96 \pm \sqrt{-96^2 - 4*(8)(-360)}}{2(8)} }[/math]