Tema 5. Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado

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Indicadores de logro

1. Resuelve ecuaciones igualando a cero un producto de factores.
2. Resuelve ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática o vieta.

1. Observe el cuadrado de la figura 1 con expresiones algebraicas.

• Si el número mágico de este cuadrado es 36, ¿cuál es el valor de x?
• Exponga la estrategia para hallar el valor de x.
• Sustituya cada expresión algebraica por el número que corresponde a cada casilla.

Figura 1

3 (1+2x)	3 - x	4 (x + 1) - 1
3 + x	3 (x + 1)	5 (1 + x) -2
2 + (1+ 2x)	3 + 7x	3 + 7x

Razonamiento matemático

• Un cuadrado mágico tiene esta característica: la suma de sus columnas horizontales y diagonales resultan en la misma cantidad. En la situación que se presenta se elige la ecuación más sencilla y se despeja x=3.
• Al sustituir en la ecuación, debe ser cuidadoso de tomar en cuenta los signos de agrupación y los signos de las cantidades. Al sustituir en las casillas del cuadrado mágico: primera fila: 21, 0 ,15; segunda fila: 6, 12, 18; tercera fila: 9, 23, 3.

2. Lea y resuelva las actividades.

Lorena ha diseñado el arreglo de piezas de barro que se muestra en la figura 2 para una de las paredes en su jardín.

• Establezca una ecuación cuadrática que represente este arreglo geométrico e igual a cero.
• Verifique si esta ecuación es un trinomio cuadrado perfecto.
• Escriba la ecuación cuadrática como un binomio de la forma [math]\displaystyle{ (x + b )^2 = 0 }[/math].

Figura 2

Razonamiento matemático

Al sumar las partes que forman una figura compuesta y cuyas dimensiones están indicadas, se forma un polinomio que representa el área total. Es posible expresar como una ecuación cuadrática al igualar a cero: [math]\displaystyle{ x^2+4x+4=0 }[/math], y al factorizar se obtiene: [math]\displaystyle{ (x+2)^2=0 }[/math].

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

Una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0, se llama forma estándar de la ecuación cuadrática.

1. Lea.

Una hoja de cartón rectangular se utiliza para construir una caja sin tapadera, cuyas dimensiones se muestran en la figura 3, y se requiere que el volumen de la caja sea de [math]\displaystyle{ 616 cm^3 }[/math].

Figura 3

• ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?

Razonamiento matemático

• El principio de los productos nulos: para cualquier un par de números reales a y b, si ab = 0, entonces a= 0 o b=0, y si a=0 o b=0, entonces ab=0. Si se tiene una ecuación con 0 en un lado y una factorización en el otro, se puede resolver encontrando los valores que hacen 0 a los factores.
• Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver utilizando una expresión llamada fórmula cuadrática o Vieta, donde a es el coeficiente del término x2, b es el coeficiente del término x y el término independiente es c. El [math]\displaystyle{ \pm }[/math] quiere decidir que hay dos soluciones o dos raíces.

[math]\displaystyle{ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }[/math]

2. Encuentre el volumen multiplicando sus dimensiones.

[math]\displaystyle{ (x-8)(2x-8)(4)=616 }[/math]; realice productos indicados e iguales a cero: [math]\displaystyle{ 8x2 – 96x – 360 = 0 }[/math]; factorice la ecuación cuadrática: [math]\displaystyle{ (x-15) (x+3)=0 }[/math]; iguale a cero cada factor: (x-15)=0 y (x+3)=0; despeje para hallar las soluciones [math]\displaystyle{ x_1=15 }[/math] [math]\displaystyle{ y x_2=-3 }[/math].

La solución factible es x=15 debido a que se trata de una situación real; por lo tanto, los dados serán ancho=15 cm y largo =30 cm.

Compruebe su respuesta utilizando la fórmula cuadrática: sustituya en fórmula cuadrática: a= 8; b=-96 y c= -360, entonces

[math]\displaystyle{ x=\frac{-96 \pm \sqrt{-96^2 - 4*(8)(-360)}}{2(8)} }[/math]

3. Resuelva. [math]\displaystyle{ 3u^2=18u-6 ; m(3m+1)=3; }[/math]

Vea más sobre solución de ecuaciones cuadráticas por factorización: https://www.youtube.com/watch?v=PTJx4W-lQbEO3Fs

Cierre

Ejercicios del tema

Nivel: Análisis

1. Siga las instrucciones y complete la tabla en el cuaderno. A continuación, se presenta una serie de ecuaciones cuadráticas.

Ecuación cuadrática.		Escriba el método de solución.	Escriba la ecuación como un producto de factores.	Escriba soluciones de la ecuación.
[math]\displaystyle{ x^2 + 9x + 18 = 0 }[/math]		Factores igual a cero	[math]\displaystyle{ (x + 3) (x + 6) = 0. }[/math]	[math]\displaystyle{ x_1 = -3 }[/math] [math]\displaystyle{ x_2 = -6 }[/math]
a)	[math]\displaystyle{ 6x^2 - 7x = 10 }[/math]
b)	[math]\displaystyle{ 2x^2 - 7 = 3x }[/math]
c)	[math]\displaystyle{ x^2 = 8x }[/math]
d)	[math]\displaystyle{ x^2 - 6x + 4 = 0 }[/math]

Razonamiento matemático

La ecuación cuadrática tiene dos soluciones debido al exponente 2. Las soluciones pueden ser enteras o reales, y según la naturaleza de las raíces depende el método que se utilice en la solución. a) [math]\displaystyle{ x_1= 2; x_2= -5/6 }[/math] (factores); b) [math]\displaystyle{ x_1= 2.77; x_2= -1.27 }[/math] (fórmula); c) [math]\displaystyle{ x_1= -8; x_2= 0 }[/math] (factor), d) [math]\displaystyle{ x_1= 5.24; x_2= 0.76 }[/math] (fórmula).

2. Responda.

En la figura 4, se muestran las dimensiones de una tarjeta a la que se le hace una perforación de forma cuadrada de lado desconocido x. ¿Cuál es el área de la perforación en [math]\displaystyle{ cm^2 }[/math]?

Figura 4

• Plantee una estrategia para determinar el área de la perforación.
• Encuentre las soluciones para x aproximada a centésimas y calcule el área.
• Explique los hallazgos.

Razonamiento matemático

• El área de un cuadrilátero regular se obtiene multiplicando la base por la altura.
• Cuando se necesita hallar el área que queda al quitar un polígono del área de otro polígono, se calcula restando el área mayor menos el área menor.
• Para resolver una ecuación cuadrática es necesario despejar el trinomio cuadrático e igualarlo a cero. Al restar el área total de la tarjeta menos el área de la perforación queda [math]\displaystyle{ 80x^2 + 81x – 52 = 0. }[/math]
• Las soluciones son: [math]\displaystyle{ x1 \approx 0.45 }[/math] y [math]\displaystyle{ x^2 ≈ -1.46 }[/math]; para el área de la perforación, toma el valor positivo: [math]\displaystyle{ A= (0.45)^2=0.20 cm^2 }[/math].

3. Resuelva los cuestionamientos.