Tema 1. Sistemas de ecuaciones: Método gráfico y método por igualación

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Indicadores de logro

1. Determina si una pareja ordenada es solución de un sistema de ecuaciones.
2. Resuelve un sistema de ecuaciones utilizando método gráfico y método por igualación.

Todas las actividades de este cuadernillo son para que usted las realice solo o acompañado de otros docentes. También puede aplicarlos con estudiantes del ciclo básico.

1. Identifique y explique si Ana y Beto caminan de forma paralela o perpendicular uno respecto al otro.

Ana, ubicada en el punto A (0,10) y Beto, en el punto B (0,1.8) caminan sobre una línea recta, de tal manera que se encuentran en el punto C (4,5), como se muestra en la gráfica 1.

a. Si la ecuación de la trayectoria de Ana es [math]\displaystyle{ Y =-\frac{5}{4} }[/math], ¿cuál es la pendiente de la trayectoria de Beto?

Razonamiento matemático

1. Las rectas que se intersecan y forman un ángulo de [math]\displaystyle{ 90° }[/math] se llaman rectas perpendiculares. Una forma de demostrar que son perpendiculares es multiplicar sus pendientes: [math]\displaystyle{ m_1*m_2 }[/math]; si el resultado es: [math]\displaystyle{ -1 }[/math], son perpendiculares.

Observe que la pendiente de la recta relacionada con Ana es:

[math]\displaystyle{ m_A=\frac{10 - 5}{0 - 4}=frac{5}{4} }[/math]

a. La pendiente de la recta relacionada con Beto es: [math]\displaystyle{ m_B=\frac{5 - 1.8}{4 - 0}=frac{4}{5} }[/math]

Ana y Beto caminan en direcciones perpendiculares porque [math]\displaystyle{ (-5/4)*(4/5) }[/math] es [math]\displaystyle{ -1. }[/math]

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales de la forma: Ax + By = C, donde x e y son las incógnitas y los números A, B y C son conocidos. Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores (x, y) que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar una solución.

1. Lea y resuelva.

a. Complete las siguientes tablas en el cuaderno.

b. Localice y grafique las coordenadas de los puntos de cada ecuación en un mismo plano; utilice un color para cada ecuación.

c. Trace una recta sobre puntos comunes para cada ecuación.

d. Identifique y escriba las coordenadas donde se intersecan las ecuaciones y explique qué representa ese punto.

Tabla A para la ecuación x+2y=7
A	Si “x” vale:	0	1	2	3	4	5	6
	Entonces “y” vale:	7/2	3
Tabla B para la ecuación x-y=4
A	Si “x” vale:	0	1	2	3	4	5	6
	Entonces “y” vale:	-4	-3

Razonamiento matemático

b. Una manera de resolver un sistema de ecuaciones es graficar las ecuaciones y encontrar las coordenadas del punto de intersección; debido a que el punto de intersección se encuentra sobre ambas rectas, esta pareja ordenada (x,y) es la solución del sistema.

c. Al graficar las ecuaciones, se intersecan en el punto (5,1), que es donde las coordenadas o soluciones son las mismas para ambas ecuaciones.

2. Lea.

Observe la Gráfica 2, donde se muestran la recta f y la recta g en un mismo plano.

a. Despeje la variable “y” de ambas ecuaciones e iguales las rectas, de tal manera que sea una ecuación con una sola variable.

b. Despeje la ecuación resultante para encontrar el valor de x.

c. Encuentre el valor de y sustituyendo el valor de x en cualquier ecuación de las rectas.

d. Compare los resultados con el punto A mostrado en la Gráfica 2.

Gráfica 2

Razonamiento matemático para la actividad 2

a. Otra manera para resolver sistemas de ecuaciones es usar el método por igualación, que resulta especialmente útil cuando las dos ecuaciones están en forma Ax+By=C.

b. Al despejar “y” de la recta f, queda y= - x + 5; al despejar “y” de la recta g, queda y=x -1. Como ambas tienen la misma solución (sistema simultáneo), entonces f=g, al igualar queda - x + 5= x -1.

c. Al despejar, se encuentra x= 3; al sustituir en cualquier ecuación de las rectas, se encuentra y=2 porque y= -3+5=2 o y=3 -1=2.

d. Según los despejes x=3 e y=2; entonces, (3,2) es la solución del sistema.

Cierre

Ejercicios del tema

1. Lea el caso y resuelva las actividades.

Tres grupos de estudiantes de distintos centros educativos salen de excursión a diferentes lugares turísticos.

a. Complete la tabla con la información de los modelos que describen la ruta de cada grupo.

Minutos x	0	20	24	...	40
Kilómetros y
Grupo 1	32-0.5(0)	32-0.5(20)	32-0.5(24)	...	32-0.5(40)
Grupo 2	16+0.3(0)	16+0.3(20)	16+0.3(24)	...	16+0.3(40)
Grupo 3	8+0.5(0)	8+0.5(20)	8+0.5(24)	...	8+0.5(40)

b. Localice y grafique las coordenadas de los puntos de cada grupo en un mismo plano.
Utilice diferentes colores para cada grupo.

c. Trace rectas sobre los puntos comunes para cada grupo.

d. Identifique si, en algún punto, los grupos se encuentran en la ruta a su destino.

e. Interprete y explique las intersecciones en las rutas.

Razonamiento matemático

a. Coordenadas para grupo 1: (0,32), (20,22), (24,20), (40,12). Coordenadas para grupo 2: (0,16), (20,22), (24,23.2), (40,28). Coordenadas para grupo 3: (0,8). (20,18), (24,20). (40,28).

b. El método gráfico es útil para visualizar la solución de sistemas de ecuaciones simultáneas e interpretar la información mostrada en la gráfica.
c-e. Al graficar, se identifica que el grupo 1 se encuentra con el grupo 2 en (20,22) y con el grupo 3 en (24,20). El grupo 3 y grupo 4 se encuentran en (40,28). El grupo 1 y 2 han viajado durante 22 minutos, el grupo 1 ha recorrido 12 kilómetros y el grupo 2 ha recorrido 4 kilómetros. En el caso de los grupos 2 y 3, se encuentran cuando han viajado 24 minutos, el grupo 2 ha recorrido 24 kilómetros y el grupo 3 ha recorrido 32 kilómetros.

2. Resuelva las actividades del caso de Carlitos.

Los amigos de Carlitos celebran su cumpleaños; para ello, compran hielo y refresco. Cuando se dirigen a la tienda, se encuentran con el profesor de matemática del instituto y les plantea un sistema de ecuaciones simultáneas: [math]\displaystyle{ \begin{Bmatrix} 5y& + &x& =& 170 \\ 4y& + &3x& =& 158 \end{matrix} }[/math]

Él les explica que este sistema está relacionado con el precio del hielo y el refresco. Les propone que si encuentran el precio del hielo y el refresco pagará la cuenta.