Tema 2. Rectas paralelas y perpendiculares

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Indicadores de logro

1. Identifica las características de rectas paralelas y perpendiculares.
2. Encuentra la ecuación de rectas paralelas y perpendiculares.

1. Lea y exponga los resultados.

a. Complete las siguientes tablas en el cuaderno. Utilice las gráficas que se muestran en el plano.

Tabla para la ecuación y= - 4
Si “x” vale:	Entonces “y” vale:
-3
-2
-1
0
1
2
3

Tabla para la ecuación x= - 4
Si “x” vale:	Entonces “y” vale:
-4
-4
-4
-4
-4
-4
-4
-4

b. Según los resultados, ¿cómo son las pendientes de las rectas de la gráfica?

c. Escriba las coordenadas donde se intersecan y explique qué representa ese punto.

a-b. La pendiente de una recta determina la inclinación que muestra en una gráfica. En el caso de una horizontal, la pendiente es 0 y su ecuación es: y = b; para esta situación, y = - 4. En una recta vertical, la pendiente es infinita y su ecuación es x = a; para esta situación, x = - 4.

c. Las rectas se intersecan formando 90° entre sí, es decir son perpendiculares y se cruzan en el punto con coordenadas (-4-4).

2. Ayude a José, ¿cuánto debe cobrar por cada trabajo realizado?

José es un electricista que trabaja por su cuenta y extiende factura. Debe calcular el 12% de IVA para cobrar por su trabajo.

a. Si en un trabajo cobró Q.2500.00, ¿cuánto debe facturar?

b. Si facturó Q.5000.00, ¿cuánto cobró por su trabajo?

Razonamiento matemático

a. El modelo lineal general de una recta es y=mx+b; donde x es la variable independiente y y es la variable dependiente. La variable independiente es el dinero que cobra por trabajo y la independiente es el valor de la factura que extiende.

b. La pendiente es el IVA (12%), entonces el modelo es: y=1.12x. Si cobra Q.2500, debe facturar Q.2800: si factura Q.5000, entonces cobró Q.4464.30.

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

Dos rectas en el mismo plano son paralelas si nunca se intersecan y tienen la misma pendiente (m1=m2) y diferente coordenada en el origen.

Dos rectas en el mismo plano son perpendiculares si su intersección forma un ángulo de 90° (recto) y el producto de sus pendientes es -1 (m1*m2=-1).

1. Localice los puntos en el orden dado. Utilice un plano como el que se muestra en la Figura 1 y una hoja de papel cuadriculado.

A(0,5)

B(-5,2)

C(5,2)

D(5,-4)

E(-5,-4)

F(-1,-1)

G(1,-1)

H(-1,-4)

I(1,-4)

Figura 1

a. Una los puntos con segmentos de recta y siguiendo el orden: (B-E-D-C-B-A-C) y (H-F-G-I).

b. Identifique qué segmentos de recta son paralelos [math]\displaystyle{ (\parallel) }[/math] y perpendiculares [math]\displaystyle{ (\perp ) }[/math] entre sí. Explique.

c. ¿Es posible que los segmentos de recta [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math] y [math]\displaystyle{ \overline{AC} }[/math] sean perpendiculares? Explique.

Razonamiento matemático

a. En un plano cartesiano todos los puntos tienen coordenadas (x,y), x son las coordenadas en el eje X (horizontal) y y es la coordenada en el eje Y (vertical).

b. Un segmento de recta es el que inicia en un punto y termina en otro. En la figura que se forma al unir los puntos, están definidos varios segmentos de recta. Por ejemplo, los segmentos [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math] y [math]\displaystyle{ \overline{FG} }[/math] son paralelos porque tienen la misma pendiente; en el caso de los segmentos [math]\displaystyle{ \overline{GI} }[/math] y [math]\displaystyle{ \overline{EG} }[/math], son perpendiculares debido a que forman un ángulo de 90° entre sí.

c. Para los segmentos [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math][math]\displaystyle{ \overline{AC} }[/math] según la pendiente, se puede determinar cómo se relacionan. La pendiente de [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math] es -5 y la pendiente de [math]\displaystyle{ \overline{AC} }[/math] es -3/5; se concluye que no son [math]\displaystyle{ \perp }[/math] ni [math]\displaystyle{ \parallel }[/math].

2. Observe la Gráfica 1, donde se muestran tres rectas en un mismo plano.

a. Identifique las rectas paralelas y las perpendiculares. Explique.

Razonamiento matemático

Las rectas paralelas son las que nunca se intersecan y tienen la misma pendiente. Las rectas perpendiculares son aquellas que forman un ángulo recto entre sí y el producto de sus pendientes es -1.

El modelo lineal general de una recta es y=mx+b, donde “m” es la pendiente.

a. Las rectas 1 y 2 tienen la misma pendiente y son paralelas. Al efectuar el producto de 3*m=-1 y despejar, se encuentra que m=-1/3. La recta 3 es perpendicular a 1 y 2.

Gráfica 1

Cierre

Ejercicios del tema

1. En una hoja de papel con cuadros, grafique los puntos en el orden dado. Utilice un plano cartesiano. A(0,5); B(2,1); C(4,2)

a. Una los puntos con segmentos de recta siguiendo el orden: (A-B-C-A)

b. Si el segmento de recta BC, es parte de la recta[math]\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}x }[/math], ¿es posible que el segmento de recta AB sea perpendicular con BC? Explique.