Tema 3. Números racionales I

Inicio

Indicadores de logro

1. Determina las fracciones equivalentes de una fracción irreducible.
2. Expresa fracciones impropias y fracciones mixtas.
3. Suma y resta fracciones con denominadores comunes y denominadores diferentes.

Todas las actividades de este tema son para que usted realice. Si tiene oportunidad reúnase con otros docentes y compartan. Se recomienda aplicarlas con sus estudiantes del Ciclo Básico.

1. Lea y resuelva.

La biblioteca municipal cuenta con 2,950 libros. En una librera están colocados los de historia y poesía que conforman la mitad de libros en existencia. En otra librera se encuentra el resto de los libros distribuidos de la manera siguiente: de ciencias básicas ocupan un cuarto del espacio; de matemática, la mitad de la librera; y las revistas, ocupan el otro cuarto de la librera.

¿Cuántos libros de ciencias básicas y Matemáticas hay en la biblioteca?

• Plantee una estrategia para hallar la cantidad de libros.
• Comparta con los compañeros sus hallazgos.
• Compare sus resultados con otros compañeros.

2. Lea, resuelva y exponga resultados.

Enrique le dice a su amiga Julia que él vive a una distancia aproximada de 13/15 kilómetros a la derecha de Gilberto. Por su parte, Julia le indica a Enrique que ella considera que vive a 7/8 a la izquierda de Gilberto.

• Ubique la información en una recta numérica y establezca quién vive más cerca de Gilberto.
• Proponga otras estrategias que se pueden utilizar para determinar quién vive más cerca.
  Fernando, Diana y Elsa tienen que pintar un cuadro para la clase de dibujo. Fernando emplea la mitad del día en hacerlo; Diana, las dos terceras partes del día; y Elsa, una tercera parte.
• ¿Quién ha tardado más tiempo en hacer el cuadro? ¿Quién menos?
• Comparta la estrategia que usó para resolver el problema.
• Explique como encontró la respuesta.
• Converse con un compañero acerca de las formas en que aprende sobre estos procesos.

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

El símbolo [math]\displaystyle{ \frac {a}{b} }[/math] , donde a y b son números cardinales y b ≠ 0, se llama fracción. El número que esta sobre la barra es el numerador; el número que está debajo es el denominador. Una fracción puede describir una región o un conjunto. Las fracciones que representan la misma cantidad se llaman fracciones equivalentes. Si se multiplica o se divide el numerador y denominador por una cantidad diferente de cero obtengo una fracción equivalente.

Fracciones equivalentes

1. Copie en el cuaderno las operaciones indicadas, para hallar fracciones equivalentes.

Ej. [math]\displaystyle{ \frac{7}{5} }[/math]*[math]\displaystyle{ \frac{6}{6} }[/math] = [math]\displaystyle{ \frac{42}{30} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{10}{16} }[/math]*[math]\displaystyle{ \frac{3}{3} }[/math] = [math]\displaystyle{ \frac{\Box}{\Box} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{8}{20} }[/math][math]\displaystyle{ \div \frac{2}{2} }[/math] = [math]\displaystyle{ \frac{\Box}{\Box} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{4}{4} }[/math]*[math]\displaystyle{ \frac{5}{5} }[/math] = [math]\displaystyle{ \frac{\Box}{\Box} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{25}{75} }[/math][math]\displaystyle{ \div \frac{25}{25} }[/math] = [math]\displaystyle{ \frac{\Box}{\Box} }[/math]

Fracciones propias e impropias

Una fracción propia es cuando el numerador es menor que el denominador. Si su numerador es mayor o igual que su denominador, entonces es una fracción impropia. Cuando una fracción impropia se escribe en forma de un entero y una fracción, se llama numeral mixto o número mixto.

• 

  Fracción propia

• 

  Fracción impropia

2. Represente en el cuaderno de forma geométrica los números:

• Trace una recta numérica y localice los números anteriores.
• Establezca quién es el mayor y el menor, según su posición en la recta numérica.
• Compare las representaciones con sus compañeros.

2[math]\displaystyle{ \frac{2}{5} }[/math]; [math]\displaystyle{ \frac{4}{5} }[/math]; 1 [math]\displaystyle{ \frac{3}{4} }[/math] y [math]\displaystyle{ \frac{5}{2} }[/math]

Fracciones de igual denominador

Para sumar (adicionar) o restar (sustraer) fracciones de igual denominador se copia el denominador y se suman o restan los numeradores. Si son de diferente denominador, se convierten en fracciones equivalentes para expresarlas con igual denominador.

• Represente geométricamente las operaciones:

[math]\displaystyle{ \frac {5}{7}+\frac {3}{7}-\frac {6}{7}=\frac {2}{7} }[/math]

• Represente de forma geométrica la suma:

3[math]\displaystyle{ \frac {1}{2}+\frac {3}{2}=\frac {10}{2} }[/math]

Cierre

Ejercicios del tema

Nivel: Conocimiento y recuerdo. Identifica y examina las situaciones

1. Conteste (V) verdadero o (F) falso a las siguientes afirmaciones y corrija en el cuaderno aquellas que sean falsas:

a)[math]\displaystyle{ \frac{29}{6} }[/math] y [math]\displaystyle{ \frac{9}{6} }[/math] son equivalentes ( )

b)La fracción [math]\displaystyle{ \frac{2}{3} }[/math]es la fracción irreducible de [math]\displaystyle{ \frac{4}{12} }[/math] ( )

c) Es lo mismo comer [math]\displaystyle{ \frac{4}{5} }[/math]de pastel que [math]\displaystyle{ \frac{20}{25} }[/math] ( )

2. Seleccione entre las opciones la respuesta correcta.

Operación	(a)	(b)	(c)
[math]\displaystyle{ \frac{3}{5}-\frac{6}{5}+\frac{4}{5}+\frac{3}{5} }[/math]=?	[math]\displaystyle{ \frac{4}{10} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{10}{5} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{4}{5} }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{x}{3}-\frac{2x}{3}+\frac{5x}{3} }[/math]=?	[math]\displaystyle{ \frac{4x}{3} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{6x}{3} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{2x}{6} }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{2}{3}+\frac{1}{6}+\frac{7}{12} }[/math]=?	[math]\displaystyle{ \frac{10}{21} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{15}{12} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{10}{3} }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{15}{y}-\frac{10}{y}-\frac{17}{6} }[/math]=?	[math]\displaystyle{ \frac{8}{3y} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{8}{y} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{8}{y^3} }[/math]

3) De los números al álgebra
Evalúe cada expresión y escriba en forma de número mixto. Observe el ejemplo.
0)	[math]\displaystyle{ \frac {a}{b} }[/math] para a = 23; b =5	[math]\displaystyle{ \frac {23}{5} }[/math]=4 [math]\displaystyle{ \frac {3}{4} }[/math]
1)	[math]\displaystyle{ \frac {m}{n} }[/math]para m = 73; =17
2)	[math]\displaystyle{ \frac {2w}{z} }[/math] para w = 33; z =5
3)	[math]\displaystyle{ \frac {u}{2v} }[/math] para u = 27; v =11

Nivel: Comprensión. Lea y resuelva las siguientes situaciones

3. Exponga con un cartel.

Se organizó un maratón de 5 km. ¿Cuál es el orden en que podemos ubicar carteles a lo largo del camino que indiquen recorridos de: [math]\displaystyle{ \frac {1}{2} }[/math] km; [math]\displaystyle{ \frac {17}{5} }[/math]km; [math]\displaystyle{ \frac {13}{3} }[/math]km?

4. Trace una recta numérica y ubique las marcas, comparta los resultados.

Los albañiles han pintado [math]\displaystyle{ \frac {5}{8} }[/math] de una pared de color azul, [math]\displaystyle{ \frac {1}{4} }[/math] de gris y el resto no está pintada todavía.

• ¿Qué porción de la pared está pintada? ¿Qué parte no está pintada?
• Calcule y comparta la estrategia que usó.

5. Si un lado de una ventana de forma cuadrada es de [math]\displaystyle{ \frac {6b}{8} }[/math]

• Dibuje el cuadrado e identifique sus lados, luego sumando sus lados para saber su perímetro.
• Calcule el perímetro de la ventana si el lado es: b=2 4/12

Nivel: Análisis. Ordena los datos y plantea estrategias

6. Observe y copie en el cuaderno el ejemplo y solucione los ejercicios que se muestran en la Tabla 1.

Estuardo se fue de viaje y durante la primera hora realizó [math]\displaystyle{ \frac {1}{3} }[/math] de camino y en la hora siguiente recorrió [math]\displaystyle{ \frac {2}{5} }[/math] del camino.

• ¿Qué parte del camino recorrió Estuardo en esas horas?
• ¿Qué parte del viaje falta?
• Trace una recta numérica para ubicar los recorridos
• Comparta sus resultados y explique.

De una bolsa de caramelos, Oscar sacó [math]\displaystyle{ \frac {1}{4} }[/math] y María [math]\displaystyle{ \frac {1}{3} }[/math]

• ¿Qué parte de los caramelos quedó en la bolsa?
• Represente geométricamente la situación.
• Comparta sus resultados.

Figura 1

De los números al álgebra
Números	Álgebra
[math]\displaystyle{ \frac{6}{15}=\frac{2*\not{3}}{5*\not{3}}=\frac{2}{5} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{3am}{5bm}=\frac{3*a*\not{m}}{5*b*\not{m}}=\frac{3a}{5b} }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{15}{21}\frac{\Box*\Box}{\Box*\Box}=\frac{\Box}{\Box} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{3x}{15xy}\frac{\Box*\Box}{\Box*\Box*\Box}=\frac{\Box}{\Box} }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{35}{70} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{20wy}{45w} }[/math]

Nivel: Utilización. Utiliza la información para resolver los planteamientos

7. Resuelva en el cuaderno las siguientes situaciones expresadas como:[math]\displaystyle{ \frac{t}{5}+\frac{t}{5}=10 }[/math] y [math]\displaystyle{ \frac{t}{5}+\frac{t}{5}+10 }[/math]

• Escriba las diferencias entre ambas situaciones.
• Explique a sus compañeros cómo solucionó cada caso.
• Compare sus estrategias y soluciones.

x es la cantidad de combustible que le queda en el tanque a una camioneta para terminar su recorrido, la expresión [math]\displaystyle{ 1+\frac{3}{x}=9 }[/math] representa la cantidad de combustibles.

• Plantee una estrategia para hallar el valor de x.
• Determine qué fracción de combustible queda y comparta su hallazgo.

8. Establezca una estrategia para resolver el problema y preséntelo en forma gráfica.

• ¡Cómo! ¿Ya no hay leche? –preguntó la madre. –Si ayer compré suficiente para el desayuno.
• La mitad la usó la abuela para el arroz con leche –dijo Alberto.
• Bueno, yo usé la mitad de la que quedó para los licuados esta mañana – dijo Martha.
• Acuérdate que al medio día ocupaste la mitad de la que había para el café –dijo Javier.
• Yo me tomé la mitad de la que quedaba, mientras veía la televisión –agregó Juanito.
• ¿Y solo queda ¼ de litro? –Preguntó el padre–, pero, ¿cuánto compraste ayer?

Resultados a los ejercicios del tema

Compruebe sus resultados a los ejercicios del tema con esta tabla.

Respuestas de la fase de inicio

1. Explique que al sumar se obtiene: [math]\displaystyle{ \frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4} }[/math]Al multiplicar [math]\displaystyle{ \frac{3}{4}*1475 \cong 1106 }[/math] libros

2. Dibuje una recta numérica para ubicar las fracciones luego plantee e identifique Julia: 7/-8=105/120;

Enrique 13/15=104/120, Enrique está más cerca.

Amplifique a denominador 6 para comparar distancias:

Fernando [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\to\frac{3}{6} }[/math]

Diana[math]\displaystyle{ \frac{2}{3}\to\frac{4}{6} }[/math]

Elsa[math]\displaystyle{ \frac{1}{3}\to\frac{2}{5} }[/math]

Más=Diana; Menos=Elsa

Respuestas de la fase de cierre

Ejercicios del tema

Conocimiento y recuerdo: Identifica y examina las situaciones

En esta parte se refuerza la habilidad de poder recordar determinada palabra o concepto, operación y luego emplearlo.

1. a) 26/24=13/12≠9/6, no son equivalentes, b) 2/3; 4/12=1/3≠2/3 no son equivalente c) 4/5; 20/25=4/5 son equivalentes.

2. 1) 4/10; 2) 4x/3; 3) 17/12; 4) 8/y

3. 1)[math]\displaystyle{ 4\frac {5}{17} }[/math] 2) [math]\displaystyle{ 6\frac {3}{5} }[/math]; [math]\displaystyle{ 2\frac {5}{11} }[/math]

Comprensión: Organiza y relaciona la información

Refuerza lo que lee y, asocia un número, una variable y una operación. La selección de elementos significativos le permite dar respuesta a la situación problemática

Respuestas:

4. Trace una recta numérica y ubique:

[math]\displaystyle{ \frac {1}{2}; 3\frac {2}{5}; 4\frac {1}{3} }[/math]

Calcule la parte pintada: 5/8+1/4=7/8; parte no pintada: 1-7/8=1/9

Sume los lados para hallar el perímetro:

[math]\displaystyle{ \frac{6b}{8}+\frac{6b}{8}\frac{6b}{8}+\frac{6b}{8}=\frac{24b}{8}=3b }[/math]

5. Sustituya para el perímetro = [math]\displaystyle{ 3\frac{28}{12}=7 }[/math]

Respuestas de la fase de análisis

Ordena los datos y plantea estrategias

Identifique diferencias y similitudes importantes en el conocimiento.

6. Factorice y simplifique: [math]\displaystyle{ \frac {15}{21}=\frac{not{3}*{5}} {not{3}*{7}}=\frac{5}{7}; \frac{3x}{15xy}=\frac{\not{3}*x}{\not{3}*5*x*y}=\frac{1}{5} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac {35}{70}=\frac {\not{7}*\not{5}}{\not{7}*\not{5}*2}=\frac{1}{2}; \frac{20wy}{45w}=\frac {4*\not{5}*\not{w}y}{9*\not{5}*\not{w}}=\frac {4y}{9} }[/math]

Calcule

[math]\displaystyle{ \frac {2}{5}+{1}{3}={11}{15}; }[/math] falta por recorrer [math]\displaystyle{ 1-\frac {11}{15}={4}{15}; }[/math]

Calcule

[math]\displaystyle{ \frac {1}{4}+{1}{3}={7}{12};\lt /span\gt caramelos que quedan en la bolsa \lt span style="font-size:20px"\gt math\gt 1-\frac {7}{12}={5}{12}; }[/math]

Utilización. Plantea una estrategia utilizando la información para resolver los problemas

Llegar a soluciones efectivas en este nivel indica que se ha logrado un estímulo que le permite actuar con dominio del conocimiento.

7. Despeje: t: math>\frac {2t}{5}\to 2t=50 \to t=\frac {50}{2}=25</math>

la variable tiene un valor determinado.

Sume las fracciones:

math>\frac {t+t+50}{5}\to 2t=50 \to \frac {2t}{5}+10;</math>

el resultado es una expresión llamada binomio.

8.Despeje

x[math]\displaystyle{ \frac {3}{x}=9+1 \to \frac {3}{x}=8 \to \frac {3}{8}=x; }[/math]

Calcule lo bebido: math>\frac {1}{2}+\frac{1}{4}\frac{1}{8}\frac{1}{16}=\frac{15}{16}</math>

Por lo tanto, lo que sobra es math>\frac {1}{16}</math> de lo que se compró y esto equivale a un 1/4 de litro por los tanto math>\frac {1}{4}\div\frac {1}{16}=4</math> litros se compraron.

Capacidad o destreza para hacer algo bien o con facilidad.

Lo que estimula o incita a hacer algo.