Serie Aprendo y enseño/Matemáticas/Formas, números y lenguaje algebraico/Tema 2. Potencia y radicación

Inicio

Indicadores de logro

1. Escribe radicales como potencia de exponente fraccionario y viceversa.
2. Simplifica operaciones que incluyen potencias y radicales a partir de las propiedades subyacentes.
3. Resuelve situaciones que involucran la potenciación y radicación.

1. Reúnase en parejas para leer y comentar sus estrategias.

• Observen el tablero que se muestra en la Figura 1 y sitúense en cualquiera de las casillas blancas de la fila inferior.
• Realicen las operaciones indicadas. Con el dedo índice busquen un camino por las casillas numeradas hasta llegar a la fila superior y obtener 6 de salida.

Salida con 6

Figura 1

Si sube por la izquierda divide.

Si sube por la derecha multiplica.

• Comenten qué estrategia funcionó para llegar a la parte superior y salir con 6.
• Marquen la trayectoria para alcanzar la parte superior y salir con un número 6.

2. Responda.

• ¿Qué número se multiplica por sí mismo tres veces y el resultado es 8?
• ¿Qué número se multiplica por sí mismo cuatro veces y el resultado es 625?
• ¿Qué número se multiplica por sí mismo seis veces y el resultado es 1 millón?

3. Lea y resuelva.

Alfredo ha comprado un reloj “curioso” tal como se muestra en la Figura 2.

4. Explique cómo funciona y qué hora se lee en la Figura 2.

En una semana:

• ¿Cuántas vueltas completas realiza la aguja horaria?
• ¿Cómo se representa con radicales esta situación?
• ¿Cómo realiza el cambio de radicales a horas en este caso?

5. Escriba las 11: 45 am y 35 segundos, utilizando el patrón de este reloj

Figura 2

Potenciación es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. Por ejemplo: [math]\displaystyle{ 6 x 6 x 6 = 6^3 }[/math], donde [math]\displaystyle{ 6 }[/math] es la base y [math]\displaystyle{ 3 }[/math] el exponente. La radicación es la operación inversa de la potenciación, consiste en que, dados dos números llamados: radicando (cantidad subradical) e índice, se halla un tercero, llamado: raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando. El ejemplo sirve de guía. Plantee [math]\displaystyle{ 3 }[/math] ejemplos equivalentes con otros índices.

Ejemplo guía

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

El exponente de un número dice cuántas veces se debe multiplicar un número por sí mismo, por ejemplo: [math]\displaystyle{ 5^3= 5x5x5 }[/math]. Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir, por ejemplo: [math]\displaystyle{ 5^{-3}\frac {1}{5^3}=\frac {1}{125} }[/math]

Un exponente fraccionario como por ejemplo 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima:

[math]\displaystyle{ x^1/_n=\sqrt[n]{X} }[/math], por ejemplo:[math]\displaystyle{ 8^1/_3=\sqrt[3]{8} }[/math].

1. Escriba 3 ejemplos equivalentes para cada propiedad de la Tabla 1. Si logra escribir los ejemplos debe registrar en el cuaderno 21 ejemplos adicionales.

Tabla 1 Propiedades de los exponentes

Propiedad	Ejemplo	Incorrecta aplicación de la propiedad
1. [math]\displaystyle{ a^m a^n = a^{m+n} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3^2 * 3^5 = 3^{2+5} = 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3^2 * 2^3 }[/math] no es igual a [math]\displaystyle{ 6^{2+3} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ a^m / a^n = a^{m - n} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3^5/3^2 = 3^{5 -2}= 3^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6^5/2^3 }[/math] no es igual a:[math]\displaystyle{ 3^{5-3} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ (a^m)^n = a^{m*n} }[/math]	[math]\displaystyle{ (3^2)^5 = 3^{2*5} = 3^10 }[/math]	[math]\displaystyle{ (3^2)^5 }[/math] no es igual a: [math]\displaystyle{ 3^{2+5} }[/math]
4.[math]\displaystyle{ (ab)^n = a^n*b^n }[/math]	[math]\displaystyle{ (3 * 4)^2 = 3^2 * 4^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (3 * 4)^2 }[/math] no es igual a:[math]\displaystyle{ 3^2 + 4^2 }[/math]
5.[math]\displaystyle{ (a/b)^n = a^n/b^n }[/math]	[math]\displaystyle{ (3 / 4)^2 = 3^2/4^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (3 / 4)^2 }[/math] no es igual a:[math]\displaystyle{ 3^2/4 = 9/4 }[/math]
6.[math]\displaystyle{ (a/b)^{-n} = (b/a)^n }[/math]	[math]\displaystyle{ (3/4)^{-2} = (4/3)^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (3/4)^{-2} }[/math] no es igual a [math]\displaystyle{ -3* -3 /-4*-4 = 9/16 }[/math]
7.[math]\displaystyle{ a^{-n}/b^{-m} = bm/an }[/math]	[math]\displaystyle{ 3^{-2}/4^{-5} = 4^5/3^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3^{-2}/4^{-5} }[/math] no es igual a [math]\displaystyle{ -3*-3/-4*-4*-4*-4*-4 }[/math]

Tabla 2 Propiedades de los radicales

Propiedad		Ejemplo
Raíz de un número	[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{X} = X^{1/_n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2^{3/_3} = 2 }[/math]
Potencia de un radical	[math]\displaystyle{ (\sqrt[n]{X})^m=\sqrt[n]{X^m}=X^{m/_n} }[/math]	[math]\displaystyle{ (\sqrt[3]{4})^6=(\sqrt[3]{4})^6=2^{6/_3}=4^2=6 }[/math]
Producto de radicales con el mismo índice	[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{X}*\sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{X*Y} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt[3]{3}*\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3*9}=\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3 }[/math]
División de radicales con el mismo índice	[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{X}/\sqrt[n]{Y}=\sqrt[n]({X/Y})=X^{1/_n}/Y^{1/_n}, Y\neq0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt[3]{(8*27)}=\sqrt[3]{8}/ \sqrt[3]{27}=(2^3)^{1/_3}/(3^3)^{1/_3}=2/_3 }[/math]
Raíz de raíces	Investigue y escriba un ejemplo para esta propiedad.

Cierre

Ejercicios del tema

Puede consultar las respuestas en la sección respuestas para las actividades de cierre

Nivel: Conocimiento y recuerdo

Secuencias y procedimientos

1. Exprese las potencias siguientes como potencias con exponentes fraccionarios y radicales. La Tabla 1 sirve de guía.

(a) [math]\displaystyle{ 32^2 = 1024 }[/math]

(b) [math]\displaystyle{ 4^3 = 64 }[/math]

(c) [math]\displaystyle{ 6^3 = 216 }[/math]

(d) [math]\displaystyle{ 10^9 = 1,000,000,000 }[/math]

(e) [math]\displaystyle{ 35^2 = 1225 }[/math]

Tabla 1

Número como una potencia	Número como un radical	Número con exponentes fraccionarios
[math]\displaystyle{ 10^3 = 1000 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt[3]{100}= 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1000^{1/3} = 10 }[/math]

2. Realice las actividades con el cuadro 1 que contiene números que se pueden escribir como potencia de base.

• Trace el cuadrado en el cuaderno y escriba los números como potencia.
• Compruebe que el producto de las filas, columnas y diagonales es una constante.
• Establezca el valor de la constante.
• Determine el número que falta en el cuadro 1.

Figura 1

[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ ? }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{4} }[/math]

Es importante que repase la siguiente propiedad: Cualquier número entero positivo elevado a cero es [math]\displaystyle{ 1. }[/math] En general [math]\displaystyle{ a^0 = 1 }[/math] para todo a que pertenece a los Reales. Por ejemplo: [math]\displaystyle{ 30= 1, 50 = 1. }[/math]

Nivel: Comprensión

3. Identifique los elementos importantes de las propiedades de potenciación y radicación. Recuerde la información anterior que es necesaria para plantear y resolver las siguientes situaciones

Instrucciones:

• Copie en el cuaderno el cuadro 2.
• Inicie en la casilla superior izquierda.
• Luego, encuentre un camino pasando de una casilla a otra lateral, superior o inferior, si sabe que los radicales de ambas casillas tienen que ser equivalentes, hasta salir por la casilla inferior derecha.
• Escriba la expresión radical del camino elegido, con las operaciones y cálculos correctos.
• Exponga las dificultades encontradas y las estrategias para resolverlas.

Cuadro 2

[math]\displaystyle{ \sqrt8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8\frac{1}{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ 4\frac{1}{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sqrt{2^3} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2\sqrt{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2*2\frac{1}{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ 4\frac{1}{3} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2\frac{2}{3} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt[4]{2^6} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2\frac{3}{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt[4]{4^3} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sqrt[4]{16} }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2\frac{6}{4} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt[4]{65} }[/math]

Nivel: Análisis

Identificar diferencias y similitudes importantes en el conocimiento

4. Copie en su cuaderno el Cuadro 3.

Cuadro 3

18
[math]\displaystyle{ \sqrt5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt6 }[/math]	[math]\displaystyle{ -6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sqrt5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2\sqrt2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt5 }[/math]

Instrucciones:

• Inicie en la casilla inferior marcada con el número √3 y sigan la siguiente instrucción:

[math]\displaystyle{ \uparrow }[/math] suma, [math]\displaystyle{ \gets }[/math] y [math]\displaystyle{ \to }[/math] resta, subir por las diagonales multiplicación.

• Suba por el cuadro hasta alcanzar el número 18 indicado en la parte superior.
• Escriba la expresión radical del camino elegido, con las operaciones y cálculos correctos.
• Exponga las dificultades encontradas y las estrategias para resolverlas.

Nivel: Utilización

Utilizar el conocimiento para tomar decisiones

5. Lea y resuelva las siguientes situaciones.

a. Celeste tiene cinco cubos como los que se muestran en la figura 1. Ella desea construir un cubo perfecto, uniendo los cinco.

• Ayude a construir el cubo perfecto e indique cuántas unidades deben quedar fuera.

• 
• 

• 
• 
• 

Figura 1

b. Patricia y Gabriel juegan con dos dados. El juego consiste en tirar los 2 dados. El puntaje en cada tirada lo calculan de la siguiente forma: lo obtenido en el lanzamiento disminuido en 7 y luego el resultado se eleva al cubo; por último, extraen la raíz cuadrada del número. Gana el jugador que obtenga el mayor puntaje. Si al lanzar el dado el resultado es menor que 7, pierde el juego. La tabla 1 registra el resultado de 2 de los lanzamientos con el dado.

Cuadro 3

	Patricia	Gabriel	Ganador
Lanzamiento 1
Lanzamiento 2

• Calcule cada lanzamiento según las reglas y establezca un ganador o empate en cada lanzamiento.
• Exprese el resultado con un número entero o por la forma factorizada de primos si la raíz es un número compuesto.
• Sume los resultados finales y determine al ganador.

Orientaciones generales de las actividades de inicio y cierre del tema

Solución de las actividades de fase de inicio

En la primera actividad se deben establecer estrategias para alcanzar la parte superior del cuadro.

6

La figura muestra la trayectoria correcta, al efectuar las siguientes operaciones: [math]\displaystyle{ 24x18 = 432 }[/math], luego, se opera [math]\displaystyle{ 432/12= 36 }[/math] y se divide [math]\displaystyle{ 36/6 = 6 }[/math].

La potenciación indicada en las preguntas es: [math]\displaystyle{ 2x2x2 = 8, 5x5x5 = 125 }[/math] y, por último: [math]\displaystyle{ 10x10x10x10x10x10 = 1000,000 }[/math].

La segunda actividad permite recordar la radicación. La primera pregunta debe indicar que marca las 10:20. En cuanto a las otras preguntas, se debe concluir lo siguiente:

1 día es igual a [math]\displaystyle{ 24 }[/math] horas que corresponde a [math]\displaystyle{ 2 }[/math] vueltas completas de la aguja horario, esto es: [math]\displaystyle{ (2 \sqrt144) }[/math]. Una semana tiene [math]\displaystyle{ 7 }[/math] días por lo tanto se debe escribir: [math]\displaystyle{ 7*(2 \sqrt144) }[/math], esta expresión en horas es: [math]\displaystyle{ 14x12 = 168 h. }[/math]

Las 11: 45 am y 35 segundos en este reloj es: [math]\displaystyle{ \sqrt121 }[/math]: [math]\displaystyle{ \sqrt81 }[/math]: [math]\displaystyle{ \sqrt49 }[/math].

Solución de las actividades de la fase de cierre

Respuestas del nivel de conocimiento y recuerdo

Secuencias y procedimientos

En esta primera parte se organiza la información sobre potenciación y radicación para ser utilizada posteriormente.

1.

a. [math]\displaystyle{ \sqrt1024=32; 1024^{1/_2}= 32 }[/math]

b. [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{64} =4; 64^{1/_3} = 4 }[/math]

c. [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{216}=6; 216^{1/_3}= 6 }[/math]

d. [math]\displaystyle{ \sqrt[9]{1000000} = 10; 1000,000^{1/_2}= 10 }[/math]

e. [math]\displaystyle{ \sqrt1225 = 35; 1225^{1/_2} = 35 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2^4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2^{-1} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2^0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^{-3} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2^{5} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2^{-2} }[/math]

Respuestas del nivel de comprensión

Organizar y relacionar la información

Las flechas indican el camino a seguir:

Respuestas del nivel de análisis

Identificar diferencias y similitudes importantes en el conocimiento

Exprese [math]\displaystyle{ 18 }[/math] con números primos.

[math]\displaystyle{ 18 = 2 x 3^2 }[/math]. Luego debe operar de tal forma de lograr establecer operaciones que le permitan acceder salir y obtener [math]\displaystyle{ 18. }[/math]

Respuestas del nivel de utilización

Utilizar el conocimiento para tomar decisiones

Llegar a soluciones efectivas en este nivel, indica que actúa con dominio del conocimiento de potencias y radicación.

(a.) Si integra los cubos individuales que aporta cada uno de los [math]\displaystyle{ 5 }[/math] cubos se obtiene:

[math]\displaystyle{ 2^3+2^3+3^3+3^3+4^3 = 134 }[/math], un cubo perfecto cercano tiene 125 cubos individuales, 5 unidades de cada lado. Por lo tanto, debe excluir 9 cubos individuales.

(b.) Lanzamiento 1: Patricia: [math]\displaystyle{ 2\sqrt2 }[/math] y Gabriel [math]\displaystyle{ 3\sqrt3 }[/math] por lo tanto gana Gabriel.

Lanzamiento 2: Patricia: [math]\displaystyle{ 5\sqrt5 }[/math] y Gabriel [math]\displaystyle{ 8 }[/math] Al sumar ambos lanzamientos, Patricia gana el juego.

En el continuo de coaching es el rol de ser muy directo y enseñar, mostrar, guiar, etc.