Tema 3. Trinomio de la forma ax2 + bx + c

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Indicadores de logro

1. Identifica y factoriza trinomios de la forma x² + ax + c.
2. Utiliza estrategias para factorizar trinomios de la forma ax² + bx + c.
3. Utiliza el lenguaje algebraico para resolver situaciones relacionadas con figuras planas.

1. Lea y resuelva.

Jennifer tiene una hoja de papel que divide en 4 regiones. El área de cada región está identificada con una expresión algebraica.

Figura 1

[math]\displaystyle{ 6x }[/math]	[math]\displaystyle{ x^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2x }[/math]

• ¿Cuáles son las expresiones algebraicas que identifican las dimensiones del terreno?
• Explique sus estrategias y hallazgos.

2. Lea, resuelva y exponga los resultados.

Utilice hojas de papel bond para trazar las diferentes formas geométricas que se observan en la figura 2, en las cuales se encuentran identificadas las dimensiones y área respectiva.

• Identifique cada forma geométrica trazada con la expresión algebraica que la representa.
• ¿Cuántos cuadrados y rectángulos contiene la figura?
• Recorte la Figura 2 y únala para formar el rectángulo.
• Sume las expresiones algebraicas y establezca un polinomio que represente el área total del cuadrilátero formado.
• Explique, ¿qué representan las expresiones (x+4) * (x+1) en el cuadrilátero?
• Multiplique (x+4) * (x+1) y explique ¿qué representa este producto?

Figura 2

Desarrollo

Factorizar un trinomio de la forma: x² + bx +c

La estrategia es: (1) Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada de x², esto es: (x) (x).

(2) El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

(3) Luego, encuentre dos números que sumados sean “b” y multiplicados sean “c”. El ejemplo siguiente sirve de guía.

1. Complete en el cuaderno la siguiente tabla.

Trinomio	Encuentre 2 números que satisfagan el trinomio.	Trinomio factorizado
[math]\displaystyle{ x^2 + 10x + 24 }[/math]	Si suma [math]\displaystyle{ 6 }[/math] y [math]\displaystyle{ 4 }[/math] esto es [math]\displaystyle{ 10 }[/math], si multiplica [math]\displaystyle{ 6*4 }[/math] esto es [math]\displaystyle{ 24 }[/math]	[math]\displaystyle{ (x + 6) (x + 4) }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 – 2x – 8 }[/math]	Si opera [math]\displaystyle{ −4 + 2 = −2 }[/math], si multiplica [math]\displaystyle{ −4 * +2 = −8 }[/math]	[math]\displaystyle{ (x – 4) (x + 2) }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 + 9x + 18 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 + 4x + 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 + 7x + 10 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - 7x + 12 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - 2x - 528 }[/math]

2. Lea.

Factorizar un trinomio de la forma: ax² + bx +c

Un trinomio es de la forma [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c }[/math], cuando el coeficiente a es un número diferente de 1. Para factorizar un trinomio de la forma [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c }[/math], se aplica el método de las tijeras que se observa en la Figura 4 y se utilizó para factorizar el trinomio: [math]\displaystyle{ 8x^2 + 2x - 15 }[/math].

• El término 8x2 se expresa como un producto de: (4x) (2x).
• El término constante – 15 se expresa con los factores: (+3) (−5).
• Se llama tijera porque se efectúan productos cruzados: (4x) (3) = +12x y (2x) (−5) =−10x.
• Debe comprobar que la suma (12x – 10x) es 2x, que es la expresión bx en el trinomio.
• El binomio: (2x+ 3) (4x – 5), es la forma factorizada de: [math]\displaystyle{ 8x^2 + 2x – 15 }[/math]. La Figura 3 muestra dos formas para operar por este método:

• 

  Figura 3

• 

  Figura 4

Cierre

Ejercicios del tema

Puede consultar las respuestas en la sección Orientaciones generales de las actividades de inicio y cierre del tema

Nivel: Conocimiento y recuerdo

Identificar y examinar las situaciones

1. Lea y resuelva las operaciones.

En la Figura 5 se muestra el área de un terreno que se ocupará para la siembra de árboles de pinabete.

• Establezca la expresión algebraica que determina el área de (A+B) y (C+D).
• Escriba una expresión algebraica que determina el área de (A+B) +(C+D).
• Demuestre que el área total es el producto de (x + 5) (x + 3).

Figura 5

2. Lea y realice las actividades.

El área de la Figura 6 se expresa por el trinomio [math]\displaystyle{ 3x^2 + 5x + 2 }[/math].

• ¿Cuáles son las dimensiones de la Figura 6?

¿Cuáles son las dimensiones de cada cuadrilátero que forma la figura 6? Explique.

Figura 6

Nivel: Comprensión

Organizar y relacionar la información

3. Determine, en el cuaderno, el perímetro de la pintura.

Un artista famoso de paisajes recibió de su hija su primera obra maestra, por ese motivo ha solicitado que se enmarque y, como es aficionado a las matemáticas, le ha colocado las dimensiones mostradas en la figura 7.

• Si en este caso en particular, la expresión que resulta como perímetro representa el área de la pintura, calcule las dimensiones del cuadro.

Figura 7

4. Lea y resuelva los ejercicios.

El terreno donde Débora siembra todo tipo de verduras para su consumo propio está dividido, tal como se muestra en la figura 8.

• ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área total de la figura 8?
• ¿Cuáles son las expresiones algebraicas que representan las dimensiones del terreno de cultivo de Débora?
• Explique los hallazgos.

Figura 8

Nivel: Análisis

Ordenar los datos y plantear estrategias

5. Lea y resuelva.

Demesia tiene un terreno donde siembra frijol y maíz. La figura 9 muestra las dimensiones del terreno donde siembra frijol y el área total del terreno donde siembra maíz.

• Escriba las dimensiones del terreno donde se siembra maíz.
• Plantee una estrategia para hallar las dimensiones totales del terreno donde se sembró frijol y maíz.
• Explique cómo verificar que las expresiones de las áreas son equivalentes.

Figura 9

6. Lea y resuelva.

Mario es el encargado de cuidar un bosque que tiene un área total que está representada por el trinomio [math]\displaystyle{ 10x^2 - 6x + 3 }[/math]. En una parte del bosque se ha colocado un estanque de agua para aves, cuyas dimensiones se desconocen. Si al construir el estanque, el área de bosque se reduce a la expresión [math]\displaystyle{ 6x^2 – 10x + 2 }[/math], como se muestra en la figura 10.

• Encuentre el trinomio que representa el área del estanque.
• Plantee una estrategia para hallar las dimensiones del estanque.
• Explique los hallazgos.

Figura 10

Nivel: Utilización

Plantear una estrategia utilizando la información para resolver los problemas

7. Lea y determine.

Un colegio está construido sobre un terreno cuadrado de 2km de lado. Se quiere hacer una ampliación como se muestra en la figura 11, de modo que el terreno siga siendo cuadrado.

• ¿Cuáles serán las expresiones algebraicas para las dimensiones del nuevo colegio?
• ¿Cuál es la expresión algebraica para el área total que cubrirá la construcción?
• Si x=5, ¿cuál es el área total de la ampliación?

Figura 11

8. Resuelva el cuestionamiento.

Jorge recibió recientemente una herencia que consiste en un terreno como se muestra en la Figura 12. Según el testamento, el área total del terreno es [math]\displaystyle{ 4x^2 + 6x - 4 }[/math] y dice que el triángulo que aparece es isósceles.

• ¿Cuáles son las expresiones algebraicas para las dimensiones del rectángulo y del triángulo?
• Si se desea colocar alambrado, ¿es posible hallar una expresión para el perímetro del terreno? Explique.

Figura 12

Orientaciones generales de las actividades de inicio y cierre del tema

Solución de las actividades de fase de inicio

• Las dimensiones de la figura son (6x+12) (2x+12), sume el área de cada rectángulo y luego factorice. La solución es (x+2)(x+6).
• Se observan un cuadrado y tres rectángulos. Al sumar las áreas encuentra A=x²+5x+4 y al factorizar queda: (x+4) (x+1).
• La expresión representa el área del rectángulo que se formó.

Solución de las actividades de la fase de cierre

Respuestas del nivel de conocimiento y recuerdo

Identificar y examinar las situaciones

En esta parte se refuerza la habilidad de recordar determinada palabra o concepto, operación y luego emplearlo.

1.[math]\displaystyle{ A+B= 5x + x^2; C+D= 15 + 3x }[/math]

2. Al factorizar queda [math]\displaystyle{ (3x+2) (x+1) }[/math].

Respuestas del nivel de comprensión

Organizar y relacionar la información

Refuerza lo que lee y, asocia un número, una variable y una operación. La selección de elementos significativos le permite dar respuesta a la situación problemática.

Respuestas:

3. Para hallar el perímetro sume: [math]\displaystyle{ P=15x^2+7x-36 }[/math]; para las dimensiones factorice:[math]\displaystyle{ (3x-4) (5x+9) }[/math]

4. El área es [math]\displaystyle{ A= 2x2+10x+8; factorice: (x+1) (x+4) }[/math]

Respuestas del nivel de análisis

Ordenar los datos y plantear estrategias

Identifica diferencias y similitudes importantes en el conocimiento.

Respuestas:

5. Factorice para hallar dimensiones: [math]\displaystyle{ (3x+2) (x+1) }[/math]; la estrategia es sumar las áreas y factorizar para hallar dimensiones totales: [math]\displaystyle{ A=9x^2+18x+8=(3x+2) (3x+4) }[/math]

6. Al área del estanque restar área total menos área sombreada: [math]\displaystyle{ 4x^2 + 4x +1 = (2x + 1 )2 }[/math]

Respuestas del nivel de utilización

Plantear una estrategia utilizando la información para resolver los problemas

Llegar a soluciones efectivas en este nivel indica que se ha logrado un estímulo que le permite actuar con dominio del conocimiento.

Respuestas:

7. Dimensiones de nueva área de construcción [math]\displaystyle{ (2x+2) (2x+2) }[/math]; la expresión del área es [math]\displaystyle{ A= (2x+2)2=4x2 + 8x + 4 }[/math]; sustituye [math]\displaystyle{ x=5: 4(5)2 +8(5) + 4=144 m^2. }[/math]

8. Área del triángulo = [math]\displaystyle{ 1/_2 (2x+4) }[/math]

Restar área total menos área del triángulo y factorizar para hallar las dimensiones del rectángulo: [math]\displaystyle{ 2x^2-2x-12= (2x+4) (x-3). }[/math]

Como es isósceles sus catetos son [math]\displaystyle{ (2x+4) }[/math], la hipotenusa = [math]\displaystyle{ (2x+4)\sqrt2 }[/math] el perímetro a circular: [math]\displaystyle{ 8x +6 +2x \sqrt2 +4√2 }[/math]

Conjunto de sonidos articulados con que el hombre manifiesta lo que piensa o siente (DRAE). Facultad que sirve para establecer comunicación en un entorno social, se le considera como un instrumento del pensamiento para representar, categorizar y comprender la realidad, regular la conducta propia y de alguna manera, influir en los demás.

En el continuo de coaching es el rol de ser muy directo y enseñar, mostrar, guiar, etc.

Capacidad o destreza para hacer algo bien o con facilidad.

Lo que estimula o incita a hacer algo.