Tema 2. Teoría de números

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Tema 1. Variables y expresionesTema 3. Números racionales I
 
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'''Indicadores de logro'''
 
'''Indicadores de logro'''
  
−
#Escribe expresiones algebraicas a partir de un enunciado verbal.
+
#Resuelve situaciones que involucren múltiplos y divisores con números naturales.
−
#Plantea ecuaciones de primer grado para una situación particular.
+
#Emplea el mínimo común múltiplo mcm y el mínimo común divisor MCD para resolver situaciones cotidianas.
 
</div>
 
</div>
−
 
 
Todas las actividades de este tema son para que usted realice. Si tiene oportunidad reúnase con otros docentes y compartan. Se recomienda aplicarlas con sus estudiantes del ciclo básico.
 
Todas las actividades de este tema son para que usted realice. Si tiene oportunidad reúnase con otros docentes y compartan. Se recomienda aplicarlas con sus estudiantes del ciclo básico.
  
−
'''1. Lea y responda las preguntas.'''
+
'''1. Lea y resuelva.'''
  
−
Un cuadrado mágico es la disposición de una serie de números en un cuadrado, de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales es la misma, y el número es llamado la '''“constante mágica”.'''
+
'''El festival'''
  
−
La Figura 1, muestra el cuadro mágico de Alberto Durero, tallado en su obra Melancolía I.
+
Para el festival del instituto se deben acomodar, en filas, 40 sillas para los invitados. La señora de limpieza dice que hay 8 maneras diferentes para acomodar las sillas de manera rectangular.
−
*¿Cuál es la constante mágica en esta situación?
+
*¿Cuáles son las 8 maneras diferentes de acomodar las 40 sillas?
−
*Exponga en clase las diferentes formas de encontrar la constante mágica.
+
*Responda en el cuaderno y comparta las soluciones con sus compañeros.<br>Con la operación: 9x10-6x5, ¿también se puede calcular? Expliquen cómo se puede pensar de otras formas el arreglo de la figura 1
  
−
{|class="wikitable" style="width:40%; margin: 10px auto 10px auto; text-align:center;"
+
[[Archivo:Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas Númericos y Operaciones 1 pag(8).jpg|300px|center]]
−
|+ style="caption-side:bottom;"|'''Figura 1'''
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<center>'''Figura 1'''</center>
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|-
 
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|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|16
 
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|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|3
 
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|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|2
 
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|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|13
 
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|-
 
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|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|5
 
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|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|10
 
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|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|11
 
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|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|8
 
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|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|9
 
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|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|6
 
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|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|7
 
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|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|12
 
−
|-
 
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|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|4
 
−
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|15
 
−
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|14
 
−
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #ec008d;"|1
 
−
|}
 
  
−
'''2. Lea y realice las actividades.'''
+
Más tarde, para la entrega de premios, se reacomodaron todas las sillas en 6 filas:
 +
*¿Cuántas sillas se colocaron en cada fila?
 +
*¿Cuántas formas de acomodar las sillas habría si fueran 80? ¿Y si fueran 100?
  
−
La Figura 2 presenta un cuadro mágico, pero no hay números, sino operaciones representadas con las letras a, b y c.
+
'''2. Lea, resuelva y exponga.'''
−
*Copie el cuadro mágico de la Figura 2 en el cuaderno y discuta con un compañero sobre el tipo de operaciones indicadas representadas con las letras a, b y c.
 
−
*Escriba los números que sustituyen a las operaciones indicadas, si se cumple que la constante mágica es 90 y que la suma de a +b + c es 60.
 
−
*Discuta en pareja las estrategias de solución para completar este cuadro mágico.
 
−
*Encuentre otros números que sustituyan a las letras a, b y c que permiten formar otro distinto cuadro mágico.
 
  
−
{|class="wikitable" style="width:40%; margin: 10px auto 10px auto; text-align:center;"
+
*En un supermercado tienen que cambiar las ruedas de sus 129 carros. Ya han puesto 342 ruedas. ¿Cuántas ruedas les quedan por poner, si cada carrito tiene 4 ruedas?
−
|+ style="caption-side:bottom;"|'''Figura 2'''
+
*En una bodega hay 87 litros de jugo de limón y 51 litros de agua. Para hacer limonada se mezclan el jugo de limón y el agua en una botella de 2 litros de capacidad. ¿Cuántas botellas se llenarán en total?
−
|-
 
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|a+b
 
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|a - (b+c)
 
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|a + c
 
−
|-
 
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|a - (b-c)
 
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|a
 
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|a + (b-c)
 
−
|-
 
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|a - c
 
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|a + b+ c
 
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|a - b
 
−
|}
 
  
 
==Desarrollo==
 
==Desarrollo==
 
[[Archivo:Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas Númericos y Operaciones icono4.jpg|60px|right|link=]]
 
[[Archivo:Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas Númericos y Operaciones icono4.jpg|60px|right|link=]]
 
===Nuevos conocimientos===
 
===Nuevos conocimientos===
−
<div style="background-color:#fde8f1;  width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
+
<div style="background-color:#fde8f1;  width:85%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
−
Una '''variable''' es una letra, por ejemplo: n, x, y, z que reserva un lugar para un número.
+
El '''producto''' de dos números enteros es un '''múltiplo''' de cada uno de ellos. Los múltiplos de un número se caracterizan por ser infinitos. Cuando se multiplica dos o más números para formar un producto, a cada uno se llama un '''factor''' o '''divisor''' del producto. Los factores o divisores de un número son finitos. Los múltiplos de un número se pueden encontrar multiplicando por 0,1, 2, 3, 4… etcétera (son infinitos). El 0 es múltiplo de todos los números naturales.
 +
</div>
  
−
Una '''expresión algebraica''' es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas.
+
1. Encuentre 5 números que sean divisores de 270, si 18*15= 270. Escríbalos en el cuaderno.
 +
 
 +
===Número primo y número compuesto===
 +
<div style="background-color:#fde8f1;  width:85%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
 +
El número 7 tiene exactamente dos factores, 1 y 7. Cualquier número que tenga exactamente dos factores 1 y él mismo, se llama '''número primo.''' A cualquier número entero mayor que 1 y con más de dos factores o divisores se les llama '''número compuesto.''' El número 1 tiene un solo factor, por lo que no es primo ni compuesto.
 
</div>
 
</div>
−
*Revise los siguientes ejemplos.
+
 
−
{|class="wikitable" style="width:85%; margin: 10px auto 10px auto;"
+
2. Complete la tabla para encontrar el valor mínimo de n que dé un número compuesto en 6n+1.
−
|-style="vertical-align:top;"
+
{|class="wikitable" style="width:85%; margin: 10px auto 10px auto; text-align:center;"
−
|style="background:#f067a6; width:60%; border: 2px  solid #f599c1; color:#fff;"|Enunciado verbal
+
|-
−
|style="background:#f067a6; width:60%; border: 2px  solid #f599c1; color:#fff;"|Expresión algebraica
+
|style="background:#fff; width:10%; border: 2px  solid #ec008d;"|n
−
|-style="vertical-align:top;"
+
|style="background:#fff; width:10%; border: 2px  solid #ec008d;"|0
−
|style="background:#fff; width:60%; border: 2px  solid #f599c1;"|Un número disminuido en 10 unidades
+
|style="background:#fff; width:10%; border: 2px  solid #ec008d;"|1
−
|style="background:#fff; width:40%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>x – 10</math>
+
|style="background:#fff; width:10%; border: 2px  solid #ec008d;"|2
−
|-style="vertical-align:top;"
+
|style="background:#fff; width:10%; border: 2px  solid #ec008d;"|3
−
|style="background:#fff; width:60%; border: 2px  solid #f599c1;"|La edad de Marta dentro de 8 años
+
|style="background:#fff; width:10%; border: 2px  solid #ec008d;"|4
−
|style="background:#fff; width:40%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>m + 8</math>
+
|style="background:#fff; width:10%; border: 2px  solid #ec008d;"|5
−
|-style="vertical-align:top;"
+
|style="background:#fff; width:30%; border: 2px  solid #ec008d;"|6
−
|style="background:#fff; width:60%; border: 2px  solid #f599c1;"|El perímetro de un rectángulo
+
|-
−
|style="background:#fff; width:40%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>a + a + b + b</math>
+
|style="background:#fff; width:10%; border: 2px  solid #ec008d;"|6n+1
−
|-style="vertical-align:top;"
+
|style="background:#fff; width:10%; border: 2px  solid #ec008d;"|1
−
|style="background:#fff; width:60%; border: 2px  solid #f599c1;"|Cinco veces un número aumentado en 15
+
|style="background:#fff; width:10%; border: 2px  solid #ec008d;"|
−
|style="background:#fff; width:40%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>5y + 15</math>
+
|style="background:#fff; width:10%; border: 2px  solid #ec008d;"|
−
|-style="vertical-align:top;"
+
|style="background:#fff; width:10%; border: 2px  solid #ec008d;"|
−
|style="background:#fff; width:60%; border: 2px  solid #f599c1;"|El producto de dos números naturales consecutivos
+
|style="background:#fff; width:10%; border: 2px  solid #ec008d;"|
−
|style="background:#fff; width:40%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>x *(x + 1)</math>
+
|style="background:#fff; width:30%; border: 2px  solid #ec008d;"|
−
|-style="vertical-align:top;"
+
|style="background:#fff; width:30%; border: 2px  solid #ec008d;"|
−
|style="background:#fff; width:60%; border: 2px  solid #f599c1;"|La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos
 
−
|style="background:#fff; width:40%; border: 2px  solid #f599c1;"|[<math>n^2</math> + <math>(n +1)^2</math>]
 
 
|}
 
|}
  
−
*Represente con material concreto las expresiones algebraicas anteriores. Exponga sus resultados.
+
===Potencia y exponente===
 +
<div style="background-color:#fde8f1;  width:85%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
 +
Un producto en donde los divisores son idénticos se llama '''potencia''' de ese factor. Los exponentes se usan para escribir potencias en forma corta. El '''exponente''' indica el número de veces que la '''base''' se toma como factor. Para mostrar los factores de un número que se escribió usando exponentes, se escribe el número en '''forma desarrollada''', también conocida como forma factorizada.
 +
</div>
  
−
===Ecuaciones===
+
*Si 16=2*2*2*2= 24, ¿De cuántas formas diferentes puede escribir 256 y 81 en forma de una potencia? 24
−
<div style="background-color:#fde8f1; width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
+
{|class="wikitable" style="width:50%; margin: 10px auto 10px auto;"
−
Es una afirmación matemática que utiliza un signo igual para establecer que dos expresiones representan el mismo número o son equivalentes. Una ecuación que contiene al menos una variable es una '''afirmación abierta.''' Por ejemplo, '''x + 10 = 40''' no es verdadera o falsa, porque “x” no ha sido sustituida por un número.
+
|-valign="top"
−
</div>
+
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #fff;"|
 +
<math>
 +
\begin{array}{c|c}
 +
  250 & 2 \\
 +
  125 & 5 \\
 +
  25 & 5 \\
 +
    5 & 5 \\
 +
    1 &  \\
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #fff;"|
 +
<math>
 +
\begin{array}{c|c}
 +
  300 & 2 \\
 +
  150 & 2 \\
 +
  75 & 3 \\
 +
    25 & 5 \\
 +
    5 &  5\\
 +
    1 &  \\
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #fff;"|
 +
<math>250 = 2 x 5^3</math>
  
−
*Establezca el valor de verdad para la ecuación x + 32 = 104, sustituyendo el conjunto de números siguientes: {38, 42, 50, 62,72}. Exponga el resultado obtenido.
+
<math>300 = 2^2 x 3 x 5^2</math>
  
−
<div style="background-color:#fde8f1;  width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
+
'''M.C.D.'''<math>= 2 X 5^2 = 50</math>
−
El inverso aditivo de un número es el opuesto de ese número. Por ejemplo, el inverso aditivo de 5 es – 5 y el inverso aditivo de – 8 es 8. La suma de un número y su inverso aditivo es cero. Ejemplo: (8) + (– 8) = 0.
+
|}
−
</div>
+
 
 +
{|class="wikitable" style="width:50%; margin: 10px auto 10px auto;"
 +
|--valign="top"
 +
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #fff;"|
 +
<math>
 +
\begin{array}{c|c}
 +
18 & 2 \\
 +
  9 & 3 \\
 +
  3 & 3 \\
 +
  1 &  \\
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #fff;"|
 +
<math>
 +
\begin{array}{c|c}
 +
27 & 3 \\
 +
  9 & 3 \\
 +
  3 & 3 \\
 +
  1 &  \\
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #fff;"|
 +
<math>
 +
\begin{array}{c|c}
 +
  30 & 2\\
 +
  15 & 3\\
 +
  3 & 5 \\
 +
  1 &  \\
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px  solid #fff;"|
 +
<math>18 = 3^2 x 2</math>
  
−
El ejemplo siguiente sirve de guía. ¿Qué valor tiene b en la siguiente ecuación?
+
<math>27 = 3^3</math>
−
:b + 10 – 80 = 144
 
−
:Solución: b + 10 + '''(–10) + (+80)''' – 80 = 144 – '''10 + 80''', se concluye que: b = 214
 
−
:Comprobación: 214 +10 – 80 = 144, por lo tanto, la afirmación es verdadera: 144 = 144
 
  
−
<div style="background-color:#fde8f1;  width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
+
<math>30 = 2 x 3 x 5</math>
−
El recíproco de un número a se escribe 1/a. Por ejemplo, el recíproco de 5 es 1/5. El recíproco de 1/10 es 10. Si se multiplica un número por su recíproco se obtiene 1.
 
  
−
Por ejemplo: (5) (1/5) = 1 o (x) * (1/x) = 1.
+
'''M.C.D.''' <math>= 3^3 x 5 x 2 = 27 x 5 x 2 = 270</math>
−
</div>
+
|}
 +
Refuerce su aprendizaje consultando: https://www.matesfacil.com/ESO/numeros/problemas/problemas-resueltos-aplicacion-mcm-MCD-minimocomun-multiplo-Maximo-Comun-Divisior.html
  
−
El ejemplo siguiente sirve de guía para resolver una ecuación. ¿Qué valor tiene b? 6b = 30. Aplique el recíproco de ambos lados de la igualdad: 6b * (1/6) = 30 * (1/6)  
+
{|class="wikitable" style="width:87%; margin: 10px auto 10px auto;"
 +
|-
 +
|style="background:#f067a6; border: 2px  solid #f599c1; text-align:center; color:#fff;" colspan="4"|'''De los números al algebra'''
 +
|-
 +
|style="background:#ffff; border: 2px  solid #f599c1;" colspan="4"|Escriba el MCD (el menor exponente) y mcm (el mayor exponente) de las expresiones algebraicas.
 +
|-
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|
 +
|style="background:#ffff; width:40%; border: 2px  solid #f599c1;"|Expresiones
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|MCD
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|mcm
 +
|-
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|00)
 +
|style="background:#ffff; width:40%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>x^3; 2x; 6x^2</math>
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>x</math>
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>6^3</math>
 +
|-
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|0)
 +
|style="background:#ffff; width:40%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>15x^2y; 5xy^2; 30x^3y^3</math>
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>5xy</math>
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>30x^3y^2</math>
 +
|-
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|1)
 +
|style="background:#ffff; width:40%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>3w^7x^2; 12w^2x^4; 6w^3x^3</math>
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|
 +
|-
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|2)
 +
|style="background:#ffff; width:40%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>24r^9t^5; 8r^3t^6; 4r^6t^4</math>
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|
 +
|-
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|3)
 +
|style="background:#ffff; width:40%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>12x^2yx^3; 18xy^2z; 24x^3yz^2</math>
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|
 +
|style="background:#ffff; width:20%; border: 2px  solid #f599c1;"|
 +
|}
  
−
Esto es: b = 30/6 = 5. Por lo tanto, la afirmación es verdadera: 6 (5) = 30.
+
Refuerce su aprendizaje consultando: https://ejerciciosalgebra.wordpress.com/2013/06/12/minimocomun-multiplo-de-monomios/
  
 
==Cierre==
 
==Cierre==
 
===Ejercicios del tema===
 
===Ejercicios del tema===
 
[[Archivo:Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas Númericos y Operaciones icono2.jpg|60px|right|link=]]
 
[[Archivo:Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas Númericos y Operaciones icono2.jpg|60px|right|link=]]
−
===Nivel: Conocimiento y recuerdo. Secuencias y procedimientos===
+
===Nivel: Conocimiento y recuerdo. Identifica y examina las situaciones===
−
1. Escriba una expresión algebraica para los siguientes enunciados.
+
1. Encuentre todos los factores y cinco múltiplos de: 12, 55 y 120.
−
:(a) 7 más que n
+
*Plantee ideas en el cuaderno y compare los resultados.
−
:(b) a t se le quitan 4
+
 
−
:(c) m disminuido en 5
+
2. Responda cuántos números primos menores de 100 existen.
−
:(d) 6 más que un número
+
*Elabore una tabla donde anote todos los números de 1 a 100.
−
:(e) la diferencia de un número y 9
+
*Como 2 es primo, rodee y tache los múltiplos de 2.
−
:(f) el producto de 2 números aumentado en 10
+
*El 3 es primo, rodee y tache los múltiplos de 3 que no estén tachados.
−
:(g) la suma de dos números al cuadrado
+
*Repita el procedimiento hasta llegar a 100 y cuente cuántos rodeó.
 +
 
 +
3. Escriba como producto o como potencia según lo indique la expresión:
 +
:a) 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2
 +
:b) 5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5
 +
:c) 11*11*11*11*11*11*11*11*11*11*11*11
 +
:d) 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2
 +
:e) n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n
 +
:f) a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a
  
−
2. Determine el valor de verdad de las siguientes ecuaciones.
+
*Trabaje en su cuaderno
−
:a) z + 34 = 187 para el conjunto {150, 151, 152,153}
+
*Elabore un cartel y explique los resultados.
−
:b) 28 = t – 10 para el conjunto {18, 28, 38, 48}
+
 
 +
===Nivel: Comprensión. Organiza y relaciona la información===
 +
4. Complete el cuadro mágico que se muestra en la Figura 2, para ello se deben hallar los divisores de 216 (sin contar el 216). Elija otros 5 para completar el cuadrado mágico, sin repetir ninguno, de tal manera que el producto de tres factores en filas, columnas o diagonales sea siempre 216.
  
−
3. Resuelva y verifique:
+
*Copie en el cuaderno el cuadro mágico de la Figura 2.
−
:(a) x + (157- 29) = 342
+
*Encuentre todos los factores de 216 y complete el cuadro mágico.
−
:(b) 92 = 5k + 67
+
*Comparta los resultados con sus compañeros.
−
:(c) (56 + 87) - 126b = 17
 
−
:(d) 394 - 138x = 256
 
−
:(e) 165 = 25n – 85
 
−
:(f) 183 = 3y + (265 – 99)
 
  
−
4. Plantee las ecuaciones necesarias para encontrar el valor reservado x, y, n.
 
−
*En el cuadro mágico de la Figura 3, la suma de los números que aparecen en cada fila, columna o diagonal es la misma.
 
 
{|class="wikitable" style="width:50%; margin: 10px auto 10px auto; text-align:center;"
 
{|class="wikitable" style="width:50%; margin: 10px auto 10px auto; text-align:center;"
−
|+ style="caption-side:bottom;"|'''Figura 3'''
+
|+ style="caption-side:bottom;"|'''Figura 2'''
 
|-
 
|-
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|x
+
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|16
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|3
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|3
 +
|-
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|6
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|36
 +
|-
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|12
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|0
 +
|}
 +
 
 +
5. Copie en su cuaderno la Tabla 1 y encuentre el MCD y mcm.
 +
*Identifique y escriba la letra de la expresión según sus resultados. Explique.
 +
{|class="wikitable" style="width:87%; margin: 10px auto 10px auto;"
 +
|+ style="caption-side:bottom;"|'''Tabla 1'''
 +
|-
 +
|style="background:#f067a6; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|
 +
|style="background:#f067a6; width:30%; border: 2px  solid #f599c1;"|Expresiones
 +
|style="background:#f067a6; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|
 +
|style="background:#f067a6; width:30%; border: 2px  solid #f599c1;"|MCD
 +
|style="background:#f067a6; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|
 +
|style="background:#f067a6; width:25%; border: 2px  solid #f599c1;"|mcm
 +
|-
 +
|style="background:#ffff; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|a)
 +
|style="background:#ffff; width:30%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>x^3; 2x; 6x^2</math>
 +
|style="background:#ffff; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|()
 +
|style="background:#ffff; width:30%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>6x^2y</math>
 +
|style="background:#ffff; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|()
 +
|style="background:#ffff; width:25%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>42x^4y^5</math>
 +
|-
 +
|style="background:#ffff; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|b)
 +
|style="background:#ffff; width:30%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>15x^2y; 5xy^2; 30x^3y^3</math>
 +
|style="background:#ffff; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|()
 +
|style="background:#ffff; width:30%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>7x^2y^2</math>
 +
|style="background:#ffff; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|()
 +
|style="background:#ffff; width:25%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>36x^5y^3</math>
 +
|-
 +
|style="background:#ffff; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|c)
 +
|style="background:#ffff; width:30%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>21x^4y^2; 42x^2y^5; 7x^2y^3</math>
 +
|style="background:#ffff; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|()
 +
|style="background:#ffff; width:30%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>15x^3y^6</math>
 +
|style="background:#ffff; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|()
 +
|style="background:#ffff; width:25%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>90x^10y^11</math>
 +
|-
 +
|style="background:#ffff; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|d)
 +
|style="background:#ffff; width:30%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>6x^4y^2; 36x^5y^3; 18x^2y</math>
 +
|style="background:#ffff; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|()
 +
|style="background:#ffff; width:30%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>x</math>
 +
|style="background:#ffff; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|()
 +
|style="background:#ffff; width:25%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>30x^3y^2</math>
 +
|-
 +
|style="background:#ffff; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|e)
 +
|style="background:#ffff; width:30%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>90x^10y^8; 15x^6y^11; 45x^3y^6</math>
 +
|style="background:#ffff; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|()
 +
|style="background:#ffff; width:30%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>5xy</math>
 +
|style="background:#ffff; width:5%; border: 2px  solid #f599c1;"|()
 +
|style="background:#ffff; width:25%; border: 2px  solid #f599c1;"|<math>6x^3</math>
 +
|}
 +
 
 +
===Nivel: Análisis. Ordena los datos y plantea estrategias===
 +
6. Trabaje en el cuaderno y comparta sus resultados.
 +
*Los números 180 y 345 son múltiplos de 15, utilice este dato para escribir dos factores de cada uno de estos números.
 +
*Para averiguar si el número 191 es primo o compuesto, ha hecho las divisiones de ese número por 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17, respectivamente. En ningún caso la división ha sido exacta. ¿Puede asegurar que el número 191 es primo?
 +
*Compruebe también con los siguientes números: 541, 137, 1337.
 +
*Un grupo de excursionistas está formado por 72 chicos y 66 chicas. Si forma grupos iguales de chicos y chicas, ¿cuántos alumnos formarán cada grupo?
 +
 
 +
===Utilización. Plantea una estrategia utilizando la información para resolver los problemas===
 +
7. Resuelva en el cuaderno, exponga la estrategia y los resultados obtenidos.
 +
*El producto de tres números es 360.
 +
*¿Cuáles pueden ser estos tres números?
 +
*¿Puede escribir todas las soluciones del problema?
 +
*Los alumnos de primero y segundo han ido de excursión, en total 123 alumnos. El número de alumnos de primero es igual a 3, más del cuádruplo de alumnos de segundo. <br>¿Determine cuántos alumnos de cada curso han ido?
 +
*Carlos sugirió un plan a sus padres para su mesada. Él obtendría 1 centavo el primer día, 2 el segundo día, 4 el tercer día, 8 el cuarto día, y así sucesivamente. Si los padres de Carlos aprueban el plan, ¿determine cuánto obtendrá el quinceavo día? Para analizar este problema elabore una tabla para observar el comportamiento:
 +
 
 +
{|class="wikitable" style="width:50%; margin: 10px auto 10px auto; text-align:center;"
 +
|-
 +
|style="background:#f067a6; width:33%; border: 2px  solid #ec008d; color:#fff;"|centavos
 +
|style="background:#f067a6; width:33%; border: 2px  solid #ec008d; color:#fff;"|día
 +
|style="background:#f067a6; width:33%; border: 2px  solid #ec008d; color:#fff;"|Patrón
 +
|-
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|1
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|1
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>2^0</math>
 +
|-
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|2
 
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|2
 
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|2
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|14
+
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>2^1</math>
 +
|-
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|4
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|3
 +
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>2^2</math>
 
|-
 
|-
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|12
+
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|8
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|9
+
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|4
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|y
+
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>2^3</math>
 
|-
 
|-
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|n
+
|style="background:#fde8f1; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|1024= Q.10.24
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|16
+
|style="background:#fde8f1; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|10
−
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|7
+
|style="background:#fde8f1; width:33%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>2^{10}</math>
 
|}
 
|}
  
−
===Nivel: Comprensión. Organiza y relaciona la información===
+
8. Calcule lo siguiente.
−
5. Lea y resuelva las siguientes situaciones.
+
*Una gacela joven realiza saltos de 6 metros, mientras que una adulta da saltos de 8 metros. <br>Si una gacela joven comienza a dar saltos y desde la primera huella ponga a una adulta para que la siga.
−
*Una comunidad aumentó en 5,689 personas el año anterior, haciendo un total de 157,743 personas actualmente. Resuelva la ecuación p + 5,689 = 157,743 para determinar la población antes del aumento.
+
*Calcule, ¿cuántos metros recorrerá la gacela adulta hasta que vuelva a pisar una huella de la joven?
−
*Una avícola reporta que se entregaron 2,575 huevos para la venta en una semana y quedaron sin vender 425 huevos en mal estado. Resuelva la ecuación h– 2,575 = 425 para determinar la cantidad total de huevos producidos en esa semana.
+
*Determine, ¿cuántos saltos dio la gacela adulta hasta la segunda coincidencia y cuántos saltos dio la gacela joven?
−
*La asistencia de aficionados a un partido de futbol en Cobán el miércoles fue de 679 personas menos que la asistencia del domingo. Si la asistencia del miércoles fue de 1,685 personas, resuelva la ecuación d – 679 = 1,685 para encontrar la asistencia del domingo.
+
 
 +
==Resultados a los ejercicios del tema==
 +
Compruebe sus resultados a los ejercicios del tema con esta tabla.
 +
===Respuestas de la fase de inicio===
 +
<div style="background-color:#fde8f1;  width:85%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
 +
1. Respuesta: factores de 40 los posibles valores: 10x4;5x8;20x5;40x1; 4x10;8x5;5x20;1x40
 +
 
 +
La suma las áreas de los rectángulos en forma de producto es: 10x4+4x5=40.
 +
 
 +
Respuesta: el rectángulo total menos el rectángulo vacío (sin sillas): 9x10-6x5=60
 +
 
 +
Respuesta: 10 silla en cada una, ya que 6x10=60
 +
 
 +
Las cantidades: 80:40x2;20x4;10x8;5x16; 80x1 100: 50x2; 25x4; 5x20; 100x1
 +
 
 +
2. Respuesta: 129 carros con 4 ruedas y se han puesto 342 ruedas; entonces: 129x4-342=174 ruedas faltan por instalar.
 +
 
 +
Como es una mezcla y se quieren llenar botellas de 2 litros, entonces 87+51=138÷2=69 litros de limonada 6x6 = 36+1 = 37
 +
</div>
 +
 
 +
===Respuestas de la fase de cierre===
 +
<div style="background-color:#fde8f1;  width:85%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
 +
'''Ejercicios del tema'''
 +
 
 +
'''Conocimiento y recuerdo: Identifica y examina las situaciones'''
 +
 
 +
En esta parte se refuerza la habilidad de poder recordar determinada palabra o concepto, operación y luego emplearlo.
 +
 
 +
'''Respuestas:'''
 +
 
 +
1. En el caso del 12 los factores serán: 6x2; 4x3; 12x1 y los múltiplos podrían ser: 12x1=12; 12x2=24; 12 x 3=36;12x4=48; 12x5=60.
  
−
===Nivel: Análisis. Identifica diferencias y similitudes importantes en el conocimiento===
+
En el caso del 55 los factores serán: 55x1;55x11, los múltiplos pueden ser: 55x1=55; 55x2=110; 55x3=165; 55x4=220; 55x5=275
−
6. Escriba una expresión algebraica a partir de cada enunciado verbal, plantee y resuelva las ecuaciones.
 
−
*Tomás tiene un puesto de “tiro al blanco” en la feria. Para este juego tiene 16 pequeñas pelotas, la mayoría de ellas se guardan en cantidades iguales en 2 cajas del mismo tamaño y las otras 6 quedan sueltas. Escriba una ecuación para esta situación y luego determine la cantidad máxima de pelotas dentro de cada caja.
 
−
*En el aula de 1ero. básico hay cuatro mujeres más que hombres. ¿Cuántas mujeres y hombres hay, si en total son 30?
 
−
*Si las ventas mensuales de un almacén de electrodomésticos se multiplican por 9 y aumenta en Q 1,345.00, alcanzaría su meta anual de Q 60,295.00. Plantee una ecuación y resuélvalo para determinar el monto de las ventas mensuales.
 
  
−
===Nivel: Aplicación del conocimiento para tomar decisiones===
+
2. Respuesta: 25 números primos menores de 100. 3.
−
7. Encuentre que la diferencia entre los ingresos semanales de Ricardo y Elena es de Q 80.00, se sabe que la suma de sus ingresos es Q 560.00. Elena es la que gana más. Responda, ¿Se sabe cuánto gana cada uno?
+
:a)211
 +
:b)5x16
 +
:c)1112
 +
:d)2x16
 +
:e)n12
 +
:f)16a
  
−
8. Revise y concluya sobre la forma en la que sucede el crecimiento.
+
'''Comprensión: Organiza''' y relaciona la información Refuerza lo que lee y, asocia un número y una operación. La selección de elementos significativos le permite dar respuesta a la situación problemática
−
:Suma del 1, primer número impar 1 = 1
 
−
:Suma de los 2 primeros números impares 1 + 3 = 4 =
 
−
:Suma de los 3 primeros números impares 1 + 3 + 5 = 9 =
 
−
:Suma de los 4 primeros números impares 1 + 3+ 5 + 7 = 16 =
 
  
−
*Escriba una expresión algebraica para encontrar la suma de los 100 primeros números impares. Encuentre la suma de los primeros 100 números impares.
+
'''Respuestas:'''
  
−
9. Lea.
+
4. Factorización del número 216= {2,4,6,8,9,12,18,27,36,54,108}; el cuadro se completa con el cuadro mágico con: primera columna 18, 1, 12; segunda columna 4, 6, 9; tercera columna 3, 36, 2.  
  
−
La caloría es una unidad de medida de calor que sirve para medir la energía que el cuerpo consume o asimila de la comida.
+
5. Las soluciones por fila son: c,d; d,c; e,e; a,b; b,a.
 +
</div>
  
−
Una nutricionista dice que, para mantener el peso, se deben gastar 15 calorías por libra de peso al día. Para subir una libra se debe comer 3,500 calorías adicionales. Para bajar una libra utiliza 3,500 calorías adicionales.
+
===Respuestas de la fase análisis===
 +
<div style="background-color:#fde8f1;  width:85%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
 +
'''Ordena los datos y plantea estrategias'''
  
−
{|class="wikitable" style="width:50%; margin: 10px auto 10px auto; text-align:center;"
+
Identifica diferencias y similitudes importantes en el conocimiento.
−
|+ style="caption-side:bottom;"|'''Figura 1'''
+
 
−
|-
+
6. '''Respuestas:'''
−
|style="background:#f067a6; border: 2px  solid #ec008d; color:#fff;" colspan="2"|Calorías consumidas
 
−
|-
 
−
|style="background:#f067a6; width:50%; border: 2px  solid #ec008d; color:#fff;"|Actividad
 
−
|style="background:#f067a6; width:50%; border: 2px  solid #ec008d; color:#fff;"|Calorías/min
 
−
|-
 
−
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|Correr
 
−
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|14
 
−
|-
 
−
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|Bicicleta
 
−
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|11
 
  
−
|-
+
Para hallar los factores dividimos y el cociente resultante será el otro factor de tal manera que: 180÷15=12 entonces 12x15=180; 345÷15=23 entonces 23x15=345.
−
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|Nadar
 
−
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|9
 
−
|}
 
  
−
*Resuelva.
+
Se comprueba que cada uno de los números son primos, haciendo divisiones
  
−
Un atleta pesa 129 libras. Resuelva si subirá o bajará de peso en una semana, si ingiere 15 calorías por libra de peso al día y realiza las siguientes actividades: corre 45 minutos 5 veces a la semana; por las mañanas, nada 35 minutos 3 veces a la semana; y corre en bicicleta 3 veces por semana durante 50 minutos. El domingo come tamales y agrega 2,245 calorías.
+
Encuentre del MCD de 72 y 66, es cual es 6, luego 72÷6=12 y 66=11.
  
−
==Resultados a los ejercicios del tema==
+
Al interpretar serán 6 grupos de cada género y los grupos de chicos serán de 12 y los grupos de chicas serán 11.
−
Compruebe sus resultados a los ejercicios del tema 1 con esta tabla.
 
−
===Inicio===
 
−
#La constante mágica en el cuadro de Durero es 34.
 
−
#Conclusión: a+b+c = 60<br>Si se suma todas las operaciones indicadas de la última fila, se determina que: (a-c) + (a+b+c) + (a-b) = 90.
 
  
−
Resultado: 3a = 90 y a = 30.
+
'''Utilización. Plantea una estrategia utilizando la información para resolver los problemas'''
  
−
(Una generalidad de este cuadro es que cualquier suma en columna, fila o diagonal es 90. Así que existen diversas formas de encontrar la solución.)
+
Llegar a soluciones efectivas en este nivel indica que se ha logrado un estímulo que le permite actuar con dominio del conocimiento.
  
−
Se elige la 2da columna y se razona: sí es a=30 y a+b+c es 60, entonces: a – (b+c) = 0.
+
'''Respuestas:'''
  
−
Razonamientos posibles:''' a – (b+c) = 0, esto significa que b+c es 30, por lo tanto, b es 20 y c es 10.
+
7. Factorización de 360=23, 32, 5. Estas son algunas combinaciones posibles: 5x6x12; 4x6x15; 5x9x8; 3x15x8.
  
−
'''Conclusión:''' que a es mayor que b, y esta mayor que c.
+
Plantear la ecuación: primero = 4x+3; segundo = x; la ecuación será (4x+3)+x=123, al despejar x=24 alumnos de segundo y los de primero serán 99.
  
−
'''Respuesta sugerida:''' un cuadro mágico se puede construir con los números: 15,10, 5.
+
8. Ambas tocarán la misma marca en 24 metros, b) la gacela adulta dará 6 saltos para el segunda marca porque 6x8=48 (segunda marca), c) la gacela joven dará 8 saltos porque 8x6= 48
 +
</div>
 +
[[Categoría:Matemáticas]]
 +
[[Categoría:Básico]][[Category:Book:Pre-álgebra]][[Category:Book:Pre-álgebra]]

Revisión actual del 00:21 10 jul 2020

Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas Númericos y Operaciones icono1.jpg

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Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas Númericos y Operaciones icono4.jpg

Indicadores de logro

  1. Resuelve situaciones que involucren múltiplos y divisores con números naturales.
  2. Emplea el mínimo común múltiplo mcm y el mínimo común divisor MCD para resolver situaciones cotidianas.

Todas las actividades de este tema son para que usted realice. Si tiene oportunidad reúnase con otros docentes y compartan. Se recomienda aplicarlas con sus estudiantes del ciclo básico.

1. Lea y resuelva.

El festival

Para el festival del instituto se deben acomodar, en filas, 40 sillas para los invitados. La señora de limpieza dice que hay 8 maneras diferentes para acomodar las sillas de manera rectangular.

  • ¿Cuáles son las 8 maneras diferentes de acomodar las 40 sillas?
  • Responda en el cuaderno y comparta las soluciones con sus compañeros.
    Con la operación: 9x10-6x5, ¿también se puede calcular? Expliquen cómo se puede pensar de otras formas el arreglo de la figura 1
Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas Númericos y Operaciones 1 pag(8).jpg
Figura 1

Más tarde, para la entrega de premios, se reacomodaron todas las sillas en 6 filas:

  • ¿Cuántas sillas se colocaron en cada fila?
  • ¿Cuántas formas de acomodar las sillas habría si fueran 80? ¿Y si fueran 100?

2. Lea, resuelva y exponga.

  • En un supermercado tienen que cambiar las ruedas de sus 129 carros. Ya han puesto 342 ruedas. ¿Cuántas ruedas les quedan por poner, si cada carrito tiene 4 ruedas?
  • En una bodega hay 87 litros de jugo de limón y 51 litros de agua. Para hacer limonada se mezclan el jugo de limón y el agua en una botella de 2 litros de capacidad. ¿Cuántas botellas se llenarán en total?

Desarrollo[editar | editar código]

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Nuevos conocimientos[editar | editar código]

El producto de dos números enteros es un múltiplo de cada uno de ellos. Los múltiplos de un número se caracterizan por ser infinitos. Cuando se multiplica dos o más números para formar un producto, a cada uno se llama un factor o divisor del producto. Los factores o divisores de un número son finitos. Los múltiplos de un número se pueden encontrar multiplicando por 0,1, 2, 3, 4… etcétera (son infinitos). El 0 es múltiplo de todos los números naturales.

1. Encuentre 5 números que sean divisores de 270, si 18*15= 270. Escríbalos en el cuaderno.

Número primo y número compuesto[editar | editar código]

El número 7 tiene exactamente dos factores, 1 y 7. Cualquier número que tenga exactamente dos factores 1 y él mismo, se llama número primo. A cualquier número entero mayor que 1 y con más de dos factores o divisores se les llama número compuesto. El número 1 tiene un solo factor, por lo que no es primo ni compuesto.

2. Complete la tabla para encontrar el valor mínimo de n que dé un número compuesto en 6n+1.

n 0 1 2 3 4 5 6
6n+1 1

Potencia y exponente[editar | editar código]

Un producto en donde los divisores son idénticos se llama potencia de ese factor. Los exponentes se usan para escribir potencias en forma corta. El exponente indica el número de veces que la base se toma como factor. Para mostrar los factores de un número que se escribió usando exponentes, se escribe el número en forma desarrollada, también conocida como forma factorizada.

  • Si 16=2*2*2*2= 24, ¿De cuántas formas diferentes puede escribir 256 y 81 en forma de una potencia? 24

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|c} 250 & 2 \\ 125 & 5 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|c} 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5\\ 1 & \\ \end{array} }[/math]

[math]\displaystyle{ 250 = 2 x 5^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ 300 = 2^2 x 3 x 5^2 }[/math]

M.C.D.[math]\displaystyle{ = 2 X 5^2 = 50 }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|c} 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{array} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|c} 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{array} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|c} 30 & 2\\ 15 & 3\\ 3 & 5 \\ 1 & \\ \end{array} }[/math]

[math]\displaystyle{ 18 = 3^2 x 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ 27 = 3^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ 30 = 2 x 3 x 5 }[/math]

M.C.D. [math]\displaystyle{ = 3^3 x 5 x 2 = 27 x 5 x 2 = 270 }[/math]

Refuerce su aprendizaje consultando: https://www.matesfacil.com/ESO/numeros/problemas/problemas-resueltos-aplicacion-mcm-MCD-minimocomun-multiplo-Maximo-Comun-Divisior.html

De los números al algebra
Escriba el MCD (el menor exponente) y mcm (el mayor exponente) de las expresiones algebraicas.
Expresiones MCD mcm
00) [math]\displaystyle{ x^3; 2x; 6x^2 }[/math] [math]\displaystyle{ x }[/math] [math]\displaystyle{ 6^3 }[/math]
0) [math]\displaystyle{ 15x^2y; 5xy^2; 30x^3y^3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5xy }[/math] [math]\displaystyle{ 30x^3y^2 }[/math]
1) [math]\displaystyle{ 3w^7x^2; 12w^2x^4; 6w^3x^3 }[/math]
2) [math]\displaystyle{ 24r^9t^5; 8r^3t^6; 4r^6t^4 }[/math]
3) [math]\displaystyle{ 12x^2yx^3; 18xy^2z; 24x^3yz^2 }[/math]

Refuerce su aprendizaje consultando: https://ejerciciosalgebra.wordpress.com/2013/06/12/minimocomun-multiplo-de-monomios/

Cierre[editar | editar código]

Ejercicios del tema[editar | editar código]

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Nivel: Conocimiento y recuerdo. Identifica y examina las situaciones[editar | editar código]

1. Encuentre todos los factores y cinco múltiplos de: 12, 55 y 120.

  • Plantee ideas en el cuaderno y compare los resultados.

2. Responda cuántos números primos menores de 100 existen.

  • Elabore una tabla donde anote todos los números de 1 a 100.
  • Como 2 es primo, rodee y tache los múltiplos de 2.
  • El 3 es primo, rodee y tache los múltiplos de 3 que no estén tachados.
  • Repita el procedimiento hasta llegar a 100 y cuente cuántos rodeó.

3. Escriba como producto o como potencia según lo indique la expresión:

a) 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2
b) 5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5
c) 11*11*11*11*11*11*11*11*11*11*11*11
d) 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2
e) n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n
f) a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a
  • Trabaje en su cuaderno
  • Elabore un cartel y explique los resultados.

Nivel: Comprensión. Organiza y relaciona la información[editar | editar código]

4. Complete el cuadro mágico que se muestra en la Figura 2, para ello se deben hallar los divisores de 216 (sin contar el 216). Elija otros 5 para completar el cuadrado mágico, sin repetir ninguno, de tal manera que el producto de tres factores en filas, columnas o diagonales sea siempre 216.

  • Copie en el cuaderno el cuadro mágico de la Figura 2.
  • Encuentre todos los factores de 216 y complete el cuadro mágico.
  • Comparta los resultados con sus compañeros.
Figura 2
16 3 3
6 36
12 0

5. Copie en su cuaderno la Tabla 1 y encuentre el MCD y mcm.

  • Identifique y escriba la letra de la expresión según sus resultados. Explique.
Tabla 1
Expresiones MCD mcm
a) [math]\displaystyle{ x^3; 2x; 6x^2 }[/math] () [math]\displaystyle{ 6x^2y }[/math] () [math]\displaystyle{ 42x^4y^5 }[/math]
b) [math]\displaystyle{ 15x^2y; 5xy^2; 30x^3y^3 }[/math] () [math]\displaystyle{ 7x^2y^2 }[/math] () [math]\displaystyle{ 36x^5y^3 }[/math]
c) [math]\displaystyle{ 21x^4y^2; 42x^2y^5; 7x^2y^3 }[/math] () [math]\displaystyle{ 15x^3y^6 }[/math] () [math]\displaystyle{ 90x^10y^11 }[/math]
d) [math]\displaystyle{ 6x^4y^2; 36x^5y^3; 18x^2y }[/math] () [math]\displaystyle{ x }[/math] () [math]\displaystyle{ 30x^3y^2 }[/math]
e) [math]\displaystyle{ 90x^10y^8; 15x^6y^11; 45x^3y^6 }[/math] () [math]\displaystyle{ 5xy }[/math] () [math]\displaystyle{ 6x^3 }[/math]

Nivel: Análisis. Ordena los datos y plantea estrategias[editar | editar código]

6. Trabaje en el cuaderno y comparta sus resultados.

  • Los números 180 y 345 son múltiplos de 15, utilice este dato para escribir dos factores de cada uno de estos números.
  • Para averiguar si el número 191 es primo o compuesto, ha hecho las divisiones de ese número por 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17, respectivamente. En ningún caso la división ha sido exacta. ¿Puede asegurar que el número 191 es primo?
  • Compruebe también con los siguientes números: 541, 137, 1337.
  • Un grupo de excursionistas está formado por 72 chicos y 66 chicas. Si forma grupos iguales de chicos y chicas, ¿cuántos alumnos formarán cada grupo?

Utilización. Plantea una estrategia utilizando la información para resolver los problemas[editar | editar código]

7. Resuelva en el cuaderno, exponga la estrategia y los resultados obtenidos.

  • El producto de tres números es 360.
  • ¿Cuáles pueden ser estos tres números?
  • ¿Puede escribir todas las soluciones del problema?
  • Los alumnos de primero y segundo han ido de excursión, en total 123 alumnos. El número de alumnos de primero es igual a 3, más del cuádruplo de alumnos de segundo.
    ¿Determine cuántos alumnos de cada curso han ido?
  • Carlos sugirió un plan a sus padres para su mesada. Él obtendría 1 centavo el primer día, 2 el segundo día, 4 el tercer día, 8 el cuarto día, y así sucesivamente. Si los padres de Carlos aprueban el plan, ¿determine cuánto obtendrá el quinceavo día? Para analizar este problema elabore una tabla para observar el comportamiento:
centavos día Patrón
1 1 [math]\displaystyle{ 2^0 }[/math]
2 2 [math]\displaystyle{ 2^1 }[/math]
4 3 [math]\displaystyle{ 2^2 }[/math]
8 4 [math]\displaystyle{ 2^3 }[/math]
1024= Q.10.24 10 [math]\displaystyle{ 2^{10} }[/math]

8. Calcule lo siguiente.

  • Una gacela joven realiza saltos de 6 metros, mientras que una adulta da saltos de 8 metros.
    Si una gacela joven comienza a dar saltos y desde la primera huella ponga a una adulta para que la siga.
  • Calcule, ¿cuántos metros recorrerá la gacela adulta hasta que vuelva a pisar una huella de la joven?
  • Determine, ¿cuántos saltos dio la gacela adulta hasta la segunda coincidencia y cuántos saltos dio la gacela joven?

Resultados a los ejercicios del tema[editar | editar código]

Compruebe sus resultados a los ejercicios del tema con esta tabla.

Respuestas de la fase de inicio[editar | editar código]

1. Respuesta: factores de 40 los posibles valores: 10x4;5x8;20x5;40x1; 4x10;8x5;5x20;1x40

La suma las áreas de los rectángulos en forma de producto es: 10x4+4x5=40.

Respuesta: el rectángulo total menos el rectángulo vacío (sin sillas): 9x10-6x5=60

Respuesta: 10 silla en cada una, ya que 6x10=60

Las cantidades: 80:40x2;20x4;10x8;5x16; 80x1 100: 50x2; 25x4; 5x20; 100x1

2. Respuesta: 129 carros con 4 ruedas y se han puesto 342 ruedas; entonces: 129x4-342=174 ruedas faltan por instalar.

Como es una mezcla y se quieren llenar botellas de 2 litros, entonces 87+51=138÷2=69 litros de limonada 6x6 = 36+1 = 37

Respuestas de la fase de cierre[editar | editar código]

Ejercicios del tema

Conocimiento y recuerdo: Identifica y examina las situaciones

En esta parte se refuerza la habilidad de poder recordar determinada palabra o concepto, operación y luego emplearlo.

Respuestas:

1. En el caso del 12 los factores serán: 6x2; 4x3; 12x1 y los múltiplos podrían ser: 12x1=12; 12x2=24; 12 x 3=36;12x4=48; 12x5=60.

En el caso del 55 los factores serán: 55x1;55x11, los múltiplos pueden ser: 55x1=55; 55x2=110; 55x3=165; 55x4=220; 55x5=275

2. Respuesta: 25 números primos menores de 100. 3.

a)211
b)5x16
c)1112
d)2x16
e)n12
f)16a

Comprensión: Organiza y relaciona la información Refuerza lo que lee y, asocia un número y una operación. La selección de elementos significativos le permite dar respuesta a la situación problemática

Respuestas:

4. Factorización del número 216= {2,4,6,8,9,12,18,27,36,54,108}; el cuadro se completa con el cuadro mágico con: primera columna 18, 1, 12; segunda columna 4, 6, 9; tercera columna 3, 36, 2.

5. Las soluciones por fila son: c,d; d,c; e,e; a,b; b,a.

Respuestas de la fase análisis[editar | editar código]

Ordena los datos y plantea estrategias

Identifica diferencias y similitudes importantes en el conocimiento.

6. Respuestas:

Para hallar los factores dividimos y el cociente resultante será el otro factor de tal manera que: 180÷15=12 entonces 12x15=180; 345÷15=23 entonces 23x15=345.

Se comprueba que cada uno de los números son primos, haciendo divisiones

Encuentre del MCD de 72 y 66, es cual es 6, luego 72÷6=12 y 66=11.

Al interpretar serán 6 grupos de cada género y los grupos de chicos serán de 12 y los grupos de chicas serán 11.

Utilización. Plantea una estrategia utilizando la información para resolver los problemas

Llegar a soluciones efectivas en este nivel indica que se ha logrado un estímulo que le permite actuar con dominio del conocimiento.

Respuestas:

7. Factorización de 360=23, 32, 5. Estas son algunas combinaciones posibles: 5x6x12; 4x6x15; 5x9x8; 3x15x8.

Plantear la ecuación: primero = 4x+3; segundo = x; la ecuación será (4x+3)+x=123, al despejar x=24 alumnos de segundo y los de primero serán 99.

8. Ambas tocarán la misma marca en 24 metros, b) la gacela adulta dará 6 saltos para el segunda marca porque 6x8=48 (segunda marca), c) la gacela joven dará 8 saltos porque 8x6= 48

Término utilizado, a menudo, como un saber hacer. Se suele aceptar que, por orden creciente, en primer lugar estaría la habilidad, en segundo lugar la capacidad, y la competencia se situaría a un nivel superior e integrador. Capacidad es, en principio, la aptitud para hacer algo. Todo un conjunto de verbos en infinitivo expresan capacidades (analizar, comparar, clasificar, etc.), que se manifiestan a través de determinados contenidos (analizar algo, comparar cosas, clasificar objetos, etc.). Por eso son, en gran medida, transversales, susceptibles de ser empleadas con distintos contenidos. Una competencia moviliza diferentes capacidades y diferentes contenidos en una situación. La competencia es una capacidad compleja, distinta de un saber rutinario o de mera aplicación.

Conjunto de acciones (formas de actuar o de resolver tareas), con un orden, plan o pasos, para conseguir un determinado fin o meta. Se trata de saber hacer cosas, aplicar o actuar de manera ordenada para solucionar problemas, satisfacer propósitos o conseguir objetivos. Forman los contenidos procedimentales.

Capacidad o destreza para hacer algo bien o con facilidad.

El género es un conjunto de valores, creencias e ideas sobre los comportamientos y actividades que en una determinada cultura son adecuados para las mujeres y los que son adecuados para los hombres, es decir, su identificación con la femineidad y con la masculinidad.

Lo que estimula o incita a hacer algo.

Tema 1. Variables y expresionesTema 3. Números racionales I
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