Tema 5. Simplificación de expresiones racionales algebraicas

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Indicadores de logro

1. Multiplica y divide una expresión racional algebraica.
2. Suma y resta expresiones racionales con el mismo denominador.

1. Lea y resuelva.

La casa de Lupita fue construida de la forma como se muestra en la figura 1, se indican las dimensiones de cada habitación.

• Plantee una estrategia para escribir una expresión algebraica del volumen de la casa.
• Factorice el volumen total de la casa, explique si es posible escribir otra expresión algebraica equivalente.

Figura 1

2. Lea, resuelva y exponga los resultados.

Noé vive en la aldea “Las Chapernas” en el departamento de Escuintla. Su abuelito le construyó una piscina para que se divierta cada vez que regrese de estudiar. Un día, su abuelito le entregó un dibujo con las dimensiones de la piscina, como se muestra en la figura 2, y le preguntó: ¿Cuál es la expresión que representa la profundidad de la piscina, si el volumen es [math]\displaystyle{ V= m^4 + mn^3 }[/math]?

• Plantee una estrategia y comparta con los compañeros.
• Exprese la profundidad de la piscina y explique cómo lo hizo.
• Según los hallazgos, explique, ¿cómo debe ser la relación entre las variables?

Figura 2

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

1. Lea y observe el ejemplo.

Se puede simplificar el producto de expresiones racionales factorizando primero los numeradores y denominadores, eliminado después los factores igual a 1.

Para simplificar un cociente debe recordar que se puede dividir multiplicando por el recíproco, esto también es cierto para las expresiones racionales. Para cualesquiera expresiones racionales [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} }[/math] y [math]\displaystyle{ \frac{c}{d} }[/math]para las que [math]\displaystyle{ \frac{c}{d} }[/math] es distinto de cero, entonces [math]\displaystyle{ \frac{a}{b}\div \frac{c}{d} }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{a}{b}*\frac{c}{d} }[/math]

El área del escritorio de la figura 3 es [math]\displaystyle{ A=\frac{x^2-1}{x+1} }[/math], y también se muestra el largo, entonces hallamos el ancho de a=?

Sustituye en el área [math]\displaystyle{ \frac{x^2-1}{x+1}=a*\frac{x^2-2x+1}{x+1} }[/math], para hallar el ancho despeje [math]\displaystyle{ a=\frac{x^2-1}{x+1}\div \frac{x^2-2x+1}{x+1} }[/math]; factorice y divida, multiplicando por el recíproco: [math]\displaystyle{ \frac{(x+1)(x-1)}{x+1}*\frac{x+1}{(x-1)(x-1)} }[/math]; elimine los factores iguales a uno, entonces [math]\displaystyle{ a=\frac{(x+1)}{(x-1)} }[/math]

• Halle el área de un terreno que tiene de largo [math]\displaystyle{ L=\frac{t^2-4}{t^2+t-2} }[/math] y ancho [math]\displaystyle{ a=\frac{t+2}{t-2} }[/math]

Figura 3

2. Lea.

Cuando se suman o restan expresiones racionales con un mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador. Para cualesquiera expresiones racionales [math]\displaystyle{ \frac{a}{c} }[/math] y [math]\displaystyle{ \frac{b}{c} }[/math], para las que c es distinto de cero, [math]\displaystyle{ \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}=\frac{a \pmb b}{c} }[/math]

En la figura 4 se muestra el terreno de María, el cual tiene forma de pentágono irregular. Ella ha contratado a Rubén para cercar todo el terreno. Para circular se necesita el perímetro, el cual lo encuentra con la suma de todos sus lados: [math]\displaystyle{ P=\frac{1+2s}{s-3}+\frac{2s+10}{s-3}+\frac{s+20}{s-3}+\frac{s+1}{s-3}+\frac{6s+ -6}{s-3} }[/math]

conserve el denominador común y se reducen términos semejantes en el numerador: [math]\displaystyle{ P=\frac{12s-36}{s-3} }[/math] factorice y simplifique, si es posible: [math]\displaystyle{ P=\frac{12(s-3)}{s-3}=12. }[/math]

Simplifique: [math]\displaystyle{ \frac{1}{x^2-1}+\frac{5x}{x^2-1}-\frac{4x}{x^2-1} }[/math]

Cierre

Ejercicios del tema

Puede consultar las respuestas en la sección orientaciones generales de las actividades de inicio y cierre del tema

Nivel: Conocimiento y recuerdo

Identificar y examinar las situaciones

1. Determine la expresión algebraica que representa la información que hace falta, asociada a cada tipo de batería.

Una empresa se dedica a fabricar tres tipos de baterías que tienen la forma de un prisma rectangular, como se muestra en la Figura 5 y, para ello, necesita saber el área de la base [math]\displaystyle{ (A_b) }[/math], el volumen [math]\displaystyle{ (V) }[/math] y la altura [math]\displaystyle{ (h) }[/math] de cada tipo de batería.

a) [math]\displaystyle{ A_1=\frac{5x+25}{14}; h_1=\frac{7x+7}{10x+50}; V_1=? }[/math]

b) [math]\displaystyle{ V_2=\frac{x^3-121x}{x^2-49}; A_2=\frac{x^2-11x}{x+7}; h_2=? }[/math]

c) [math]\displaystyle{ h_3=\frac{x^2-5x-24}{2x^2+17x+8}; V_3=\frac{x^2-6x+9}{4x^2-1}; A_3=? }[/math]

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Figura 5

Nivel: Comprensión

Organizar y relacionar la información

2. Plantee una estrategia para hallar la expresión de la dimensión que se desconoce.

El campo de fútbol de la comunidad tiene un perímetro expresado como [math]\displaystyle{ P=\frac{-4r+20}{2-r} }[/math] y las dimensiones se muestra en la figura 6.

• Exprese la dimension que no se conoce y explique cómo lo hizo.

Figura 6

3. Plantee una estrategia para hallar la expresión que representa el área del jardín.

Un terreno en Escuintla tiene forma de paralelogramo y se han construido dos piscinas de forma hexagonal como se muestra en la figura 7, el área de cada piscina es [math]\displaystyle{ A=\frac{3-x^2}{a-1} }[/math] y el área que sobra se ha utilizado para jardines.

• Escriba una expresión algebraica para el área del jardín, explique.

Figura 7

Nivel: Análisis

Ordenar los datos y plantear estrategias

4. Plantee una estrategia para hallar el área que debe pintar Faustino.

Faustino tiene que pintar la pared que se muestra en al figura 8. Si en la pared hay una ventana, necesita calcular el área que tiene que pintar para saber cuánta pintura comprar.

Figura 8

• Halle la expresión que representa el área que debe pintarse.

5. Plantee una estrategia para ayudar al hermano de Nayelli, para hallar la expresión del volumen del hilo.

Nayelli vive en San Pedro la Laguna y le gusta tejer. Su hermano estudia Matemática y, para verificar cuánto sabe, le propone que halle la expresión algebraica que representa el volumen del hilo que utiliza, con las expresiones que se muestran en la figura 9.

• Exprese el volumen del hilo y explique cómo lo hizo.

Figura 9

Nivel: Utilización

Utilizar la información para resolver los planteamientos

6. Lea y resuelva.

Emanuel construye un vitral para la iglesia que se ubica en el parque de Sololá, el diseño que debe cortar se muestra en la figura 10, [math]\displaystyle{ h_1 y h_2 }[/math] se expresan y la base del diseño.

• ¿Cuál es el área del diseño que utilizará en el vitral?

Figura 10

7. Plantee una estrategia para hallar la expresión algebraica que represente el radio de la base.

Cornelio tiene una empresa de lonas y le solicitan confeccionar una carpa para circo de forma canónica y con las especificaciones que se muestran en la figura 11.

• ¿Cuál es la expresión que representa el radio de la base de la carpa del circo?
• Encuentre la expresión algebraica para el radio.

Figura 11

Orientaciones generales de las actividades de inicio y cierre del tema

Solución de las actividades de la fase de inicio

• Sume los volúmenes de los prismas indicados en la figura y factorice [math]\displaystyle{ V= (b - a) (a^2 + ab + b^2) }[/math].
  Por simple inspección se observa que [math]\displaystyle{ V= b^3 – a^3. }[/math]
• Utilice [math]\displaystyle{ V= abc. }[/math]
  Despeje, sustituya, factorice y simplifique: [math]\displaystyle{ a =\frac{m}{m-n} }[/math]
  Debe cumplir que [math]\displaystyle{ m \neq n }[/math] y que no puede ser negativo.

Solución de las actividades de la fase de cierre

Respuestas del nivel de conocimiento y recuerdo

Identificar y examinar las situaciones

En esta parte se refuerza la habilidad de poder recordar determinada palabra o concepto, operación y luego emplearlo.

Respuestas:

1. Utilice [math]\displaystyle{ V=A_sl }[/math]
[math]\displaystyle{ V_1=\frac{x+1}{4}; h_2=\frac{x^2+11x+121}{x(x-7)} }[/math]
[math]\displaystyle{ A_3=\frac{x-3}{2x-1} }[/math]

Respuestas del nivel de comprensión

Organizar y relacionar la información

Refuerza lo que lee y, asocia un número, una variable y una operación. La selección de elementos significativos le permite dar respuesta a la situación problemática.

Respuestas:

2. Utilice [math]\displaystyle{ P = 2a + 2b }[/math].

Sustituya, despeje, factorice y simplifique: a = 4.

3. Reste área del paralelogramo menos dos hexágonos: [math]\displaystyle{ A=\frac{2x^2+x-9}{a-1} }[/math], para que sea válido [math]\displaystyle{ x \gt 0 }[/math] y [math]\displaystyle{ a \gt 1 }[/math]

Respuestas del nivel de análisis

Ordenar los datos y plantear estrategias

Identifica diferencias y similitudes importantes en el conocimiento.

Respuestas:

4. Reste área del rectángulo mayor menos el cuadrado.

[math]\displaystyle{ A =\frac{3x^2}{(1-x)^2} }[/math]; la variable debe ser [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math]

5. Reste los volúmenes.

[math]\displaystyle{ V=\frac{V=1}{(m-4)} }[/math]

con la condición de que [math]\displaystyle{ m \neq 4 }[/math].

Respuestas del nivel de utilización

Plantear una estrategia utilizando la información para resolver los problemas

Llegar a soluciones efectivas en este nivel indica que se ha logrado un estímulo que le permite actuar con dominio del conocimiento.

Respuestas:

6. Reste el área mayor menos el área menor.

[math]\displaystyle{ A_1=\frac{(y - 16)}{(4^2(y -3))} }[/math]

[math]\displaystyle{ A_2=\frac{(y - 4)}{(4 (y -3))} }[/math]

[math]\displaystyle{ A_vitral=\frac{(y^2 - y - 12)}{(4 (y - 3)} }[/math]

7. Utilice [math]\displaystyle{ A=\pi Rg }[/math]

Despeje R, sustituya, factorice y simplifique:

[math]\displaystyle{ R = \frac{4y - 6y + 9}{2y - 3} }[/math]

Al dividir se cancela [math]\displaystyle{ \pi }[/math].

Capacidad o destreza para hacer algo bien o con facilidad.

Lo que estimula o incita a hacer algo.