Tema 2. Elementos de la geometría II

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Indicadores de logro

1. Resuelve ecuaciones relacionadas con ángulos y figuras geométricas.
2. Utiliza los términos bisectrices, mediatriz, incentro y circuncentro en diversas situaciones.

Todas las actividades de este tema son para que usted realice. Si tiene oportunidad reúnase con otros docentes y compartan. Se recomienda aplicarlas con sus estudiantes del ciclo básico.

1. Lea y resuelva.

Don José tiene en sus manos la escritura de su terreno.

Él recuerda que su terreno colinda con los Vásquez en el punto A; con los Guzmán en el punto B, con una separación entre ambos de 50 metros. Los Díaz que ocupan los puntos C, D y E con 80 metros de longitud y la calle con los Ixcoy, con longitud L entre los puntos A y E. La figura 1 muestra la forma del terreno.

Si el perímetro del terreno es de 500 metros, calcule la longitud del segmento BC si este es igual a 1 1/2 L, la longitud del segmento AE.

Figura 1

2. Realice la siguiente actividad.

• Trace la figura 1 en una hoja de papel. Para ello coloque sobre la figura una hoja de grosor fino y repase con lápiz el contorno de esta.
• Recorte todas las aberturas de la figura 1 y organícelas de menor a mayor. (Ver figura 2).
• Mida el ángulo de cada abertura con un transportador.
• Comente la estrategia para medir los ángulos.
• Ordene los ángulos de acuerdo con la siguiente tabla de referencia:

Figura 2

Ángulo agudo	Ángulo obtuso	Ángulo convexo
Mide menos de 90°	Mide más de 90° y mide menos de 180°	Mide más de 180° y mide menos de 360°

3. Lea y resuelva.

Un ángulo consiste en dos rayos con un punto extremo común llamado vértice. Cada rayo se llama lado del ángulo. La figura 3 muestra la medida de un ángulo que se escribe m[math]\displaystyle{ \angle }[/math]B.

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°.

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°.

Figura 3

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. En la figura 4:

[math]\displaystyle{ m \angle1 = 29° }[/math] y [math]\displaystyle{ m\angle2= 61° }[/math]

Cuando una recta transversal interseca un par de rectas paralelas, los pares de ángulos correspondientes que se forman tienen la misma medida (Figura 5). Los ángulos correspondientes son: [math]\displaystyle{ \angle b }[/math] y [math]\displaystyle{ \angle f }[/math], [math]\displaystyle{ \angle a }[/math] y [math]\displaystyle{ \angle e }[/math], [math]\displaystyle{ \angle c }[/math] y [math]\displaystyle{ \angle g }[/math], [math]\displaystyle{ \angle d }[/math] y [math]\displaystyle{ \angle h. }[/math]

Las tres rectas forman ángulos llamados: ángulos alternos – internos, ángulos alternos – externos, ángulos colaterales - internos y ángulos colaterales – externos. Los ángulos colaterales están ubicados del mismo lado de la recta transversal. Los ángulos colaterales suman 180o. La tabla 1 registra este tipo de ángulos.

Figura 4

Figura 5

Tabla 1

Tipos de ángulos	¿Quiénes son?
alternos-internos	ángulo c y ángulo e
alternos-externos	ángulo b y ángulo h
colaterales-internos	ángulo c y ángulo f
colaterales-externos	ángulo a y ángulo h

Tipos de ángulos

Ángulo es la abertura entre dos rectas que se intersectan en un punto llamado vértice.

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180° también llamado llano o plano.

La suma de los ángulos internos de un cuadrado de 360, por lo que cada ángulo formado por dos lados mide 90, también llamado ángulo recto.

Triángulo

1. Revise la información de este cuadro.

	Equilátero	Isósceles	Escaleno
Triángulo
Características	Tiene los tres lados y ángulos congruentes.	Tiene dos lados iguales y uno desigual, sus ángulos son iguales y agudos.	Todos sus lados son diferentes.

Cualquier triángulo tiene siempre tres ángulos internos que suman 180°.

• Trace en papel periódico, tres triángulos diferentes. Utilice el transportador para medir los ángulos internos del triángulo. Sume los ángulos internos y compruebe que la suma de los tres ángulos es 180°.

• Bisectriz es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales.
• Incentro (I) es el punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo y es el centro de una circunferencia inscrita en un triángulo.
• Mediatriz es la recta perpendicular que pasa por el punto medio.
• Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro.

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Ejercicios del tema

Puede consultar las respuestas en la sección resultados a los ejercicios del tema

Nivel: Conocimiento y recuerdo

Identifica y recuerda datos relevantes que reproduce.

1. Resuelva los siguientes planteamientos. Para ello utilice hojas de papel, compás y transportador.

• Trace el segmento de recta AB.
• Trace con el compás circunferencias: una con centro en A y otra con centro en B, como se muestra en la figura 6.
• Trace perpendicularmente la recta M que corta en dos partes iguales al segmento AB. Compruebe, con una regla en centímetros que M es la mediatriz de A y B.

Figura 6

2. Construya un triángulo equilátero ABC y pinte con distinto color cada uno de sus lados.

• Recorte el triángulo y doble por la mitad cada lado para encontrar las mediatrices de cada lado. Por último, identifique el circuncentro. Presente los resultados en un grupo.

3. Trace un ángulo agudo con vértice A. Luego trace con la ayuda de un compás un círculo con centro en A. En los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo, trace dos circunferencias con igual radio (ver la figura 7).

• Con una regla, trace la semirrecta que parte del vértice A y pase por los puntos de corte de las circunferencias de igual radio. Demuestre que esta semirrecta es la bisectriz.

Figura 7

Nivel: Comprensión

Organiza y relaciona la información.

4. Lea y resuelva los siguientes ejercicios.

(a) En la figura 8 que se muestra, determinar las medidas de: [math]\displaystyle{ \angle 1 }[/math], [math]\displaystyle{ \angle 2 }[/math], [math]\displaystyle{ \angle 3 }[/math]. Luego: [math]\displaystyle{ \angle 5 }[/math], [math]\displaystyle{ \angle 6 }[/math], [math]\displaystyle{ \angle 7 }[/math] y [math]\displaystyle{ \angle 8 }[/math].

(b) En la figura 9, determinar la medida de los ángulos internos de los triángulos.

Figura 8

Figura 9

En la figura 10, determine el valor de los ángulos internos faltantes y luego identifique: Un triángulo obtusángulo, tres triángulos rectángulos y dos triángulos ángulos.

Figura 9

Nivel: Análisis

5. Plantee y resuelva ecuaciones para encontrar medidas de ángulos.

(a) Dos ángulos suplementarios tienen medidas 2x y 3x. ¿Cuáles son sus medidas? Trace los ángulos con transportador.

(b) Dos ángulos complementarios tienen medidas y y 5y. ¿Cuál es la medida del ángulo y?

6. Resuelva y responda.

(c) Don Mariano ha sembrado estacas para circular su terreno. La Figura 11 muestra el plano del terreno con las estacas identificadas con las letras del abecedario.

• ¿Qué tienen en común los segmentos de recta AB y CD?
• Identifique una recta transversal a dos rectas paralelas.
• ¿Qué tipo de líneas forman los segmentos ED e IF?
• ¿Los ángulos A y C, suman 180°?
• Si el ángulo en el vértice c, mide 60°, ¿Cuál es el valor del ángulo en el vértice A?
• Si el ángulo J mide 115º, ¿cuál es el valor del ángulo K?

Figura 11

Nivel: Utilización

4. Utilice la información para resolver los planteamientos.

(a) Si el ángulo de la esquina inferior de la escalera es 30°.

• ¿Cuál es el valor del ángulo b?
• ¿Cuánto suman los ángulos a y b?

Figura 12

(b) Dos pueblos A y B están separados, como se muestra en la Figura 13. La gobernadora ha decidido colocar un depósito de agua en un lugar que esté a la misma distancia de ambos pueblos y lo más cercano posible al río.

• ¿Dónde se coloca el depósito de agua?

Figura 13

Trace con compás y regla la mediatriz del segmento de recta que une a los pueblos A y B para responder la pregunta.

(c) En el pueblo se quiere construir un quiosco que quede en el centro de tres lugares principales: el Palacio municipal, el Portal del comercio y la Iglesia. (Ver figura 14). Trace la figura geométrica y las rectas para identificar el punto donde quedará el quiosco.

Figura 14

Respuestas a los ejercicios del tema

Compruebe sus resultados a los ejercicios del tema con esta tabla.

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Actividad 1:

Es importante leer la información que proporciona la situación.

Identifique sobre la figura las medidas correspondientes.

La ecuación:

500 = AB + BC + (CD + DE) + AE

Observe que agrupó (CD + DE), dado que ambos segmentos suman 80 m. 500 = 50 + 1.5L +80 + L 500 = 130 + 2.5 L, al resolver L = 148m

Concluya: BC es 1.5 L = 222 m

Actividad 2:

Mida u ordene los ángulos. Reaprenda a manipular el transportador cuando los ángulos no están ubicados en posición estándar.

El orden de los ángulos puede ser: [math]\displaystyle{ \angle C, \angle E, \angle B, \angle A, \angle D }[/math]

Respuestas del nivel de conocimiento y recuerdo

Respuestas:

1. Sea AB el segmento. Con el compás, haciendo centro en A, se traza una circunferencia que tenga un radio mayor que la mitad de AB, es un cálculo “al ojo”, ya que precisamente estamos buscando ese punto medio exacto.

Luego, haciendo centro en B, se traza otra circunferencia de igual radio que la primera.

2. Resuelva y verifique que las mediatrices cortan en el centro geométricos.

3. Verifique con un transportador que los ángulos son de igual medida.

Respuestas del nivel de comprensión

Respuestas:

a) [math]\displaystyle{ \angle 1 = 59° }[/math], [math]\displaystyle{ \angle 2 = 121° }[/math], [math]\displaystyle{ \angle 3 = 59° }[/math]
[math]\displaystyle{ \angle 5=\angle 6 = \angle7 = 38° }[/math], [math]\displaystyle{ \angle 8 = 142° }[/math]

(b) [math]\displaystyle{ \angle ACB = 115° }[/math], [math]\displaystyle{ \angle ACD = 65° }[/math]
[math]\displaystyle{ \angle CAD = 25° }[/math]
[math]\displaystyle{ \angle ABE = 20° }[/math] [math]\displaystyle{ \angle EBD = 20°, }[/math]
[math]\displaystyle{ \angle DCB = 30° }[/math], [math]\displaystyle{ \angle BDC = 100° }[/math]

Respuestas del nivel de análisis

Identifica diferencias y similitudes importantes en el conocimiento.

Respuestas:

(a) [math]\displaystyle{ 2x + 3x = 180°, x = 36°. \lt br\gt 2x = 72°, }[/math] [math]\displaystyle{ \angle 3x =108° }[/math]

(b) [math]\displaystyle{ 6y = 90°, y = 15° }[/math].
[math]\displaystyle{ \angle 1 = 15° }[/math], [math]\displaystyle{ \angle2 = 75° }[/math]
(c) [math]\displaystyle{ AB || CD, FG, ED }[/math] [math]\displaystyle{ \angle IF }[/math],
[math]\displaystyle{ \angle A+\angle C = 180° }[/math], [math]\displaystyle{ \angle C = 60° }[/math] y [math]\displaystyle{ \angle A = 120° }[/math]
[math]\displaystyle{ \angle K = 115° }[/math]

Respuestas del nivel de utilización

4. Utiliza el conocimiento para tomar decisiones.

Llegar a soluciones efectivas en este nivel indica que los anteriores niveles trascendieron debido a un estímulo. (Que le permite actuar con dominio del conocimiento.)

Respuestas:

(a) [math]\displaystyle{ \angle b = 60° }[/math], suman: [math]\displaystyle{ 180° }[/math]

(b) A se ubica cerca del río comparado con B.
El propósito es encontrar un punto medio a la recta AB, para que el pozo quede a la misma del río desde el punto de vista geométrico.

(c) Trace un triángulo y las mediatrices correspondientes. Se debe encontrar el circuncentro.

Proceso mecánico mediante el cual se aprende a representar palabras y oraciones con la claridad necesaria para que puedan ser leídas por alguien que tenga el mismo código lingüístico. La escritura es la representación gráfica de nuestro lenguaje.

Destrezas fonológica que consiste en dividir los fonemas o sílabas de una palabra.

Lo que estimula o incita a hacer algo.