Reconocer la validez de una variedad de estrategias
Los educadores deben comprender la variedad de estrategias que emplean los estudiantes para resolver problemas proporcionales.
Resultados de la investigación[editar | editar código]
Los investigadores han identificado varios enfoques que los estudiantes pueden emplear al resolver problemas proporcionales de valores faltantes. Explicamos todas las estrategias usando el siguiente problema:
Cuando hace mermelada de fresa, mi abuela usa 3 kg de azúcar para 6 kg de fresas. ¿Cuánta azúcar necesita para 18 kg de fresas?
El primer espacio de medida es el peso del azúcar; el segundo, el peso fresa.
Estrategias dentro de los espacios de medida[editar | editar código]
Estas estrategias se basan en las relaciones multiplicativas dentro de cada espacio de medida; es decir, se basan en relaciones escalares. Cuando se utiliza una estrategia dentro del espacio de medida, primero se determina el factor de cambio dentro de un espacio de medida y luego se aplica este factor al otro espacio de medida. Sabemos que en lugar de 6 kg de fresas, ahora tenemos 18 kg y queremos saber cuánta azúcar necesitamos en lugar de los 3 kg. El factor de cambio se puede identificar mediante una serie de multiplicaciones y/o divisiones: se puede averiguar cuánto se necesita multiplicar 6 kg de fresas para llegar a 18 kg de fresas (posiblemente dividiendo 18 kg por 6 kg). También es necesario multiplicar el peso del azúcar por este factor de cambio.
Una variante más simple de la misma estrategia no se basa en multiplicaciones o divisiones como tales, sino en sumas repetidas. Este enfoque se basa en la idea de la correspondencia de uno a muchos y se reduce al enfoque de construcción explicado en la sección 2: para los primeros 6 kg de fresas necesito 3 kg de azúcar. También necesito 3 kg de azúcar para los próximos 6 kg de fresas, y otros 3 kg para el último lote de 6 kg de fresas. Por lo tanto, necesito [math]\displaystyle{ 3 + 3 + 3 = 9 kg }[/math] de azúcar.
Tal enfoque a menudo se usa junto con una tabla de razones que tiene el siguiente aspecto:
| Fresas (kg) | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |
| Azúcar (kg) | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 |
Estrategias entre espacios de medida[editar | editar código]
En este enfoque, se identifica la relación multiplicativa entre los espacios de medida, ya sea por multiplicación o por división. Se busca el factor por el cual hay que multiplicar (o dividir) el peso de la fresa para obtener el peso del azúcar, y se aplica este factor al segundo peso de fresa que se proporciona. En el ejemplo anterior, podemos ver que se obtiene el peso del azúcar al reducir a la mitad el peso de las fresas; entonces para 18 kg de fresas se necesita [math]\displaystyle{ 18/2 = 9 kg }[/math] de azúcar.
Una variante específica de este enfoque a menudo se denomina enfoque de "proporción unitaria", a veces también llamada "regla de tres". En este enfoque, se toma explícitamente el paso de averiguar el valor del segundo espacio de medida cuando el valor del primer espacio de medida es 1. En el ejemplo anterior, primero se busca la cantidad de azúcar necesaria para 1 kg de fresas ( dividiendo 3 kg de azúcar por 6 kg de fresas, resultando 0,5 kg de azúcar por kg de fresas). Luego se multiplica esto (0,5 kg) por el segundo valor en el primer espacio de medida (por lo tanto, 0,5 kg de azúcar 18 veces es 9 kg de azúcar).
Otras estrategias[editar | editar código]
Además de los enfoques en los que el razonamiento va dentro o entre los espacios de medida, también se puede escribir y manipular formalmente la proporción para encontrar el valor faltante. En el problema original de las fresas, la proporción se escribe como [math]\displaystyle{ 6/3 = 18/x }[/math]. Entonces se puede resolver el problema de dos maneras. Un primer método funciona creando fracciones equivalentes (necesito multiplicar el numerador de la fracción de la izquierda por 3 para obtener el numerador de la fracción de la derecha, así que también multiplico el denominador de la fracción de la izquierda por 3). Un segundo método es la multiplicación cruzada (puedo obtener x multiplicando el numerador de la fracción de la derecha [18] por el denominador de la fracción de la izquierda [3] y dividiéndolo por el numerador de la fracción de la izquierda [6]).
En el aula[editar | editar código]
- Para entender cómo se acercan los estudiantes a los problemas proporcionales, es esencial que los educadores sean conscientes de las diferentes estrategias.
- Todas las estrategias descritas anteriormente conducen en principio a una respuesta correcta a cualquier problema de valor faltante proporcional. Sin embargo, es importante que los educadores sean conscientes de que estas estrategias son de naturaleza muy diferente y que, por lo tanto, tienen diferentes ventajas y desventajas (descritas en la siguiente sección).
Lecturas sugeridas[editar | editar código]
Noelting, G. (1980). The development of proportional reasoning and the ratio concept. Part II: Problem structure at successive stages: Problem-solving strategies and the mechanism of adaptive restructuring. Educational Studies in Mathematics, 11(4), 331–363.
Karplus, R., Pulos, S., & Stage, E. (1983). Proportional reasoning of early adolescents. En R. Lesh & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematical concepts and processes (pp. 45–89). New York, NY: Academic Press.